- •9 Ду. Занятие 5
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Применим общий алгоритм введения параметра:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
- •Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y= p2+2xp+x2.
a2. Учитывая, что p есть функция от x, продифференцируем выражение для y по переменной x, сразу заменяя y′=p: p=(p+2x) +2p+2x, или: (p+2x)( +1)=0. (2.1)
a3. Из равенства (2.1) получаем:
▪ p= –2x → dy= –2xdx → y= –x2+С. Подставив функцию y= –x2+С в исходное уравнение, получим требование С=0. Итак, y= –x2 есть решение заданного ДУ.
▪ dp= –dx → p= –x+С → dy=(С–x) → y=Сx– . Подставив функцию y= Сx– в исходное уравнение, получим: y=Сx+ (С2–x2).
a4. Итак, получено общее решение: y=Сx+ (С2–x2) – семейство парабол. Частное решение: y= –x2 не может быть получено из общего и потому является особым.
Ответ: y=Сx+ (С2–x2) – общее решение уравнения. Решение y= –x2 – особое решение ДУ.
Пример 3–119: Найти общее решение уравнения: x=y′cosy′.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y′).
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x==φ(p)=pcosp.
a2. Учитывая: y′= , или dy=pdx, запишем dx=φ′(p)dp, где: φ′(p)=cosp–psinp. Получаем уравнение для нахождения y: dy=pφ′(p)dp=p(cosp–psinp)dp.
a3. Вычислим: y= +С= – =J1–J2+С. Интеграл J1 «табличный»: J1=psinp+cosp. Применяя к J2 «интегрирование по частям», получим выражение: J2= –p2cosp+2 = –p2cosp+2J1. Окончательно:
y= p2cosp–psinp–cosp +С.
a4. Система уравнений: определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме.
Ответ: – общее решение в параметрической форме.
Пример 4–121: Найти общее решение уравнения: x= + в параметрической форме.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y,y′). Если заменить y′= , то получится уравнение: x= x′∙ y + x′2 . Это уравнение Клеро! Будем считать, что мы этого не заметили, и решим его по общей схеме для уравнений, не разрешенных относительно производной.
Применим общий алгоритм введения параметра:
a1. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x=φ(y,p)= + , причем p является функцией от y (!) через посредство x.
a2. Учитывая: y′= , продифференцируем равенство x=φ(y,p) по y:
= – –2 → (2+py) =0.
a3. Из последнего получим продолжение:
а) =0 → p=С → общее решение: x=Сy+С2;
б) 2+py =0 → 2dx+ydy =0 → 4x+y2=0 – особое решение (из общего решения не получается ни при каком значении С!).
Ответ: x=Сy+С2 – общее решение, 4x+y2=0 – особое решение.
Пример 5–123: Найти решение уравнения Лагранжа: y=2xy′ + , применяя метод введения параметра.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=2y′ и ψ(y′)= .
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)= 2xp + .
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)=p–2p=–p=0, его решение: p0=0. Учитывая p0 ≡φ(p0), запишем: y=φ(p0)∙x+ψ(p0), что невозможно, так как ψ(p0) не существует.
a5. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = , или + x= : линейное уравнение.
Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a5. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.
a6. Вычислим: – =– =–2ln|p|, и запишем: u= , то есть u = .
a8. Вычислим функцию v: v = +С= 2 +С = – +С.
a9. Запишем общее решение линейного уравнения для x:
x=u∙v= ∙ = – .
a10. Если в выражение: y=2xp + подставить найденное выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – .
a11. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.
a12. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример 6–125: Найти решение уравнения Лагранжа: y= y′x+ y′lny′, применяя метод введения параметра.
Решение:
a0. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= y′ и ψ(y′)= y′lny′.
Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a1. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ p+ plnp.
a2. Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p– p = [x∙1+lnp+1] , или p=[x+lnp+1] .
a3. Запишем равенство: p–φ(p)=p=0, его решения: p0=0. запишем: y=φ(p0)∙x+ψ(p0), что невозможно, так как ψ(p0) не существует.
a4. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0.
Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a5. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.
a6. Вычислим: – = =ln|p|, и запишем: u= , то есть u =p.
a8. Вычислим функцию v: v = +С= +С =– (lnp+2)+С.
a9. Запишем общее решение линейного уравнения для x:
x=u∙v=p ∙ =Cp–lnp–2.
a10. Если в выражение: y=x∙ p+ plnp подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= Cp2–p.
a11. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.
a12. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!
Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.
Пример 5–177: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.
Р ешение:
В Примере 1–19 получены выражения для указанных в условии: А=(0,y–y′х) и ND =(–yy′,0).
Замечание: В условии задачи допущена некорректность. Необходимо уточнить: ОА=(0,y–y′х), |ОА|=|y–y′х|, |ND|=|yy′|, тогда условие задачи: |ОА|=|ND|.
Необходимо рассмотреть два случая:
▪ Случай-1: y–y′х = –yy′; (1)
▪ Случай-2: y–y′х = yy′. (2)
Случай-1.
a0. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.