- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •Домашнее задание
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
- •2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a0. Находим первообразную функции М = :
u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=5x2y –8xy+x+φ(y). (1)
a1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (5 x2y –8xy+x)+φ′(y)=5x2–8x +φ′(y)=N(x,y); (2)
a2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N(x,y)–5x2+8x =3. (3)
a3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):
φ(y)= =3y. (4)
a4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u(x,y)= + =5x2y–8xy+x+3y= С. (5)
Ответ: u(x,y)= 5x2y–8xy+x+3y = С – общее решение.
Пример 2–99: Решить дифференциальное уравнение: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a0. Находим первообразную функции М = :
u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= xy–2 +φ(y). (1)
a1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= x +φ′(y)=N(x,y); (2)
a2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N(x,y)–x= –x=– . (3)
a3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):
φ(y)= +С=3 . (4)
a4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u(x,y)= + = xy–2 +3 = С. (5)
Ответ: u(x,y)=x3+3x2y–2xy2–y3= С – общее решение.
Пример 3–101: Решить ДУ: dx+ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =1+xy и =1+xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a0. Находим первообразную функции М = :
u(x,y)= + φ(y)= + +φ(y)= +xy+φ(y). (1)
a1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( +xy)+φ′(y)= x– +φ′(y)=N(x,y). (2)
a2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)=N(x,y)–x+ = . (3)
a3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):
φ(y)= +С=– . (4)
a4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u(x,y)= + = +xy– = С. (5)
Ответ: u(x,y)= +xy– = С – общее решение.
Пример 4–103: Решить ДУ: (2x+ )dx+(1– )∙ dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =– ∙ и =– ∙ → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a0. Находим первообразную функции М = :
u(x,y)= +φ(y)= + +φ(y)=x2+y +φ(y). (1)
a1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x2+ y )+φ′(y)= – +φ′(y)=N(x,y). (2)
a2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)=N(x,y)– (1– )∙ =0. (3)
a3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):
φ(y)=С. (4)
a4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u(x,y)= + =x2+y = С. (5)
Ответ: u(x,y)= x2+y = С – общее решение.
Пример 5–105: Решить ДУ: (siny–ysinx+ )dx+(xcosy+cosx– )∙dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =cosy–sinx и = cosy–sinx → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.