2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= + +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= –2 – +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)+2 + =2. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =2y. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + = + +2y= С. (5)

Ответ: u(x,y)= + +2y= С – общее решение.

Пример 4–102: Решить дифференциальное уравнение: (2x–y∙e^–x)dx+e^–xdy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = –e^–x и = –e^–x → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= x²+y∙e^–x +φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x²+y∙e^–x)+φ′(y)= e^–x+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–e^–x =0. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =C. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²+y∙e^–x=С. (5)

Ответ: u(x,y)=x²+y∙e^–x=С – общее решение.

Пример 5–104: Решить дифференциальное уравнение: 2x∙cos²ydx+(2y–x²sin2y)dy=0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2x∙sin2y и =–2x∙sin2y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)=x²cos²y+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: ( x²cos²y)+φ′(y)=–x²sin2y+φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x²sin2y=2y. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= =y². (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x²cos²y+y²=С. (5)

Ответ: u(x,y)=x²cos²y+y²=С – общее решение.

Пример 6–149: Решить дифференциальное уравнение: (2x³–xy²)dx+(2y³–x²y)dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2xy и =–2xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a⁰. Находим первообразную функции М = :

u(x,y)= + φ(y)= +φ(y)= x⁴– x²y²+φ(y). (1)

a¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N(x,y); это значит, что выполняется: (x⁴– x²y²)+φ′(y)= x²y +φ′(y)=N(x,y); (2)

a². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N(x,y)–x²y=2y³. (3)

a³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u(x,y):

φ(y)= = y⁴. (4)

a⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u(x,y)= + =x⁴–x²y²2xy²+y⁴= С. (5)

Замечание: Для упрощения записи общего решения умножили на 2 (!) .

Ответ: u(x,y)=x⁴–x²y²2xy²+y⁴= С – общее решение.

Пример 7–154: Решить дифференциальное уравнение: (2x+lny)dx+ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = и = → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.