Коэффициенты модели

Переменная	Коэффициент	Стандартная ошибка	t-значение	Вероятность
x1	−8,0972 e–4	9,853 e–4	−0,8218	0,4233
x2	−0,078143	0,06427	−1,2159	0,2417
x3	−0,047757	0,027279	−1,7507	0,0991
x4	0,19428	0,046245	4,2011	0,0007
Константа	0,47826	0,97835	0,48884	0,6316

Таблица 12.3

Дисперсионный анализ

	Степени свободы	Сумма квадратов	Среднее квадратич.	F-значение	Вероят­ность
Модель	4	4,1088	1,027	14,554	0,0000
Остатки	16	1,1293	0,070581
Всего	20	5,2381

Подправленный R*² = 0,7844, R² = 0,7337

95% Доверительные границы

−0,0028985  a₁  0,001279

−0,21439  a₂  0,058103

−0,10559  a₃  0,010071

0,096243  a₄  0,29231

−1,5957  a₀  2,5523

Табличное значение t-критерия Стьюдента (t_расч) превышает расчетное значение. Вероятности превышают уровень значимости  = 0,05. Следова­тельно, данная модель содержит фактор, незначительно влияющий на y.

Чтобы улучшить данную модель, на втором этапе необходимо опреде­лить наиболее значимые критерии (факторные переменные).

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной ре­грес­сии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, то есть присутствует совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мульти­коллинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой – и нельзя оценить воздей­ствие каж­дого факто­ра в отдельности. Чем сильнее мультиколли­не­ар­ность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по от­дельным факторам с помощью метода наименьших квадра­тов (МНК).

Если рассматривается регрессия у = а + b ∙ x + c ∙ z + d ∙ ν + , то для расчета параметров с применением МНК предполагается равенство:

S_y = S_факт + S_,

где: S_y – общая сумма квадратов отклонений

;

S_факт – факторная (объясненная) сумма квадратов отклонений

;

S_ – остаточная сумма квадратов отклонений .

В свою очередь, при независимости факторов друг от друга выполнимо равенство:

S_факт = S_x + S_z + S_ν,

где S_x, S_z, S_ν – суммы квадратов отклонений, обусловленные влиянием соот­ветствующих факторов. Если же факторы интеркоррелированы, то данное равенство нарушается.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно, так как:

• затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономи­ческий смысл;

• оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для ана­лиза и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов можно использовать опре­делитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матри­цей, поскольку все недиагональные элементы (x_i, x_j) были бы равны нулю.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корре­ляции. Самый простой путь устранения мультиколли­неарности состоит в ис­ключении из модели одного или нескольких факторов.

В рассматриваемом случае корреляционная матрица будет выглядеть так:

Точных количественных критериев для определения мульти­кол­ли­не­арности нет, но принимается, что переменные будут считаться коллине­ар­ными, если парный линейный коэффициент корреляции находится в преде­лах [см.: 5].

Таким образом, явной мультиколлинеарности не наблюдается. Отрица­тельное значение парного линейного коэффициента корреляции указывает на существование обратной зависимости между факторными признаками x₁ и x₄, x₂ и x₄, x₃ и x₄, однако значения парного линейного коэффициента корреляции невелики, чтобы на этом этапе можно было сделать опреде­лен­ные выводы.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важней­ших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разными. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответ­ственно к разным методикам.

В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения.

На практики удобнее применять следующие методы построения урав­нения множественной регрессии:

• метод исключения;

• метод включения;

• пошаговый регрессионный анализ.

Каждый из методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты: отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное включение фактора (метод включения), и, наконец, исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).

Пошаговые процедуры в общем случае обеспечивают получение набо­ров переменных и оказываются оптимальными или близкими к опти­мальным.

Суть метода заключается в том, что на каждом следующем шаге (то есть при переходе от отбора k переменных к отбору k + 1 переменной) учиты­ваются результаты предыдущего шага.

Так, при переходе с k = 1 на k = 2 перебирают не все возможные пары, а лишь те, в которых непременно участвует переменная x⁽ⁱ₁⁽¹⁾⁾, отобранная на первом шаге. Соответственно, при переходе от шага «k» к шагу «k + 1» первые k информативных переменных считаются уже определенными на предыдущем шаге, так, что при оптимизации критерия остается перебрать p – k, поочередно присоединяя каждую из них к уже отобранной на предыду­щем шаге группе переменных:

x⁽ⁱ₁⁽¹⁾⁾, x⁽ⁱ₂⁽²⁾⁾, … , x⁽ⁱ_k^(k)).

Все остальные характеристики процедуры (оптимизируемый критерий, правило выбора оптимального числа предикторов и т. д.) остаются теми же, что и в методе всех возможных регрессий. Нетрудно подсчитать, что при пошаговой реализации процедуры отбора наиболее существенных объяс­няющих переменных число необходимых переборов снижается с 2^p – 2 до p + (p – 1) + (p – 2) + … + 2 = (p + 2)(p – 1)/2 (то есть при p = 20 вместо 1 048 574 переборов, необходимых в методе всех возможных регрессий, понадобится всего 209 переборов различных вариантов составов предик­торов).

В данном случае использован метод пошаговой регрессии в обратном порядке, то есть от рассмотрения всей совокупности критериев, влияющих на решение о выборе поставщика, мы перешли к наиболее значимым из них. Следовательно, при применении указанного метода для данной модели полу­чим следующие результаты.

Таблица 12.4

Коэффициенты модели

Переменная	Коэффициент	Стандартная ошибка	t-значение	Вероятность
x2	−0,081009	0,045433	−1,783	0,0915
x3	−0,044682	0,017562	−2,5443	0,0203
x4	0,20796	0,021987	9,4581	0,0000

Таблица 12.5

Дисперсионный анализ

	Степени свободы	Сумма квадратов	Среднее квадратич.	F-значение	Вероят­ность
Модель	3	4,0611	1,3537	19,551	0,0000
Остатки	17	1,1177	0,069237
Всего	20	5,2381

Подправленный R*² = 0,7356, R² = 0,7753.

Среди всех объясняющих переменных были выбраны три наиболее информативных (в смысле критерия) предиктора (x⁽⁴⁾, x⁽³⁾, x⁽²⁾), поскольку

max R²_{y.(x(4), x(3), x(2))} = 0,7753.

На этом этапе можно остановиться. На следующем шаге объясняющую переменную x⁽²⁾ в модель включать нецелесообразно, так как коэффициент при x₂ не значим, – следовательно, включение x₂ в модель нецелесообразно, x₂ можно пренебречь. Наряду с этим, значения коэффициента регрессии при x⁽³⁾ и x⁽⁴⁾ статистически значимо отличаются от нуля при уровне значи­мости a = 0,05 (в таблице также приведены величины среднеквадратических ошибок).

Подсчет подправленного (на несмещенность) значения коэффициента детерминации R*²_{y.(x(4), x(3))} дает:

= 0,7356.

Среди возможных объясняющих переменных выбирается наиболее информативная (в смысле критерия) пара предикторов. Поскольку уровень значимости соблюдается только для x⁽³⁾ и x⁽⁴⁾, то наиболее информативной парой предикторов оказываются объясняющие переменные:

x⁽⁴⁾ – надежность оборудования (в баллах),

x⁽³⁾ – стоимость запасных частей для тягачей (в долл. США).

Коэффициенты детерминации на этом и последующем шаге под­счи­тываются как квадраты соответствующих множественных коэффи­ци­ентов корреляции.

Кроме того, если учитывать значение парного линейного коэффициента корреляции между значением результативного признака и факторным при­знаком x⁽⁴⁾ ( ), то можно говорить о наиболее сильном влиянии критерия надежности оборудования на выбор оптимального зарубежного партнера.

Таким образом, с помощью метода пошаговой регрессии было уста­нов­лено, что стоимость изделия и срок поставки являются менее сущест­вен­ными факторами при выборе поставщика, нежели стоимость запасных частей к оборудованию и надежность продукции согласно международным рейтингам. Основная причина заключается в специфике деятельности ОАО «МАШ» (в целом) и отдела ВЭД (в частности).

Таким образом, сейчас многие зарубежные фирмы производят обору­дование, предназначенное для обслуживания аэродрома – и предложение зачастую превышает спрос на продукцию. Поэтому в ходе переговоров воз­можно снизить цену на оборудование, используя страх поставщиков поте­рять заказ в конкурентной борьбе.

Однако, как только договор на покупку подписан, продавец поднимает цену на запасные части, если этот пункт не был оговорен заранее. К тому же, анализ контрактов, заключенных отделом ОАО «МАШ», позволяет сделать вывод о том, что количество договоров на поставку запасных частей в несколько раз превышает аналогичные контракты, предметом которых является само оборудование. Таким образом, затраты на запасные части являются существенным критерием при выборе зарубежного партнера.

Особенностью международного аэропорта является необходимость обеспечивать как авиационную, так и экологическую безопасность.

При оценке продукции контрагента учитываются стандарты между­народной организации ИКАО, присвоившей ОАО «МАШ» III категорию, требования СЭС г. Москвы, различных природоохранных организаций, конт­ролирующих деятельность ОАО «МАШ». Это объясняет повышенные требо­вания к надежности и безопасности закупаемого оборудования.

В заключение хотелось бы отметить, что данная методика может при­ме­няться в различных отраслях экономики. Дифференциация по сферам деятельности повлияет на изменение критериев выбора зарубежного парт­не­ра; вместе с тем, оценка критериев будет производиться аналогичным методом.

Модель позволяет оценить потенциального контрагента, используя методику, рассмотренную выше, то есть когда нужно найти другого постав­щика, делается оценка по некоторой выборке из базы, результаты оценки записываются в записи соответствующей таблицы и по установленным кри­териям выбирается поставщик.

Кроме того, можно повторно оценивать поставщиков из имеющейся базы данных организации, если какие-либо критерии выбора изменились в ходе переговоров.