3. Системы дифференциальных уравнений

3.1. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сведением к одному дифференциальному уравнению

Многие системы дифференциальных уравнений, как однородные, так и неоднородные, могут быть сведены к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Покажем метод на примерах.

Пример 3.1. Решить систему

Решение. 1) Дифференцируя по t первое уравнение и используя второе и третье уравнения для замены и, находим

.

Полученное уравнение дифференцируем по еще раз

.

1) Составляем систему

Из первых двух уравнений системы выразим переменные ичерез:

. (3.1)

Подставим найденные выражения для ив третье уравнение системы

.

Итак, для нахождения функции получили дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

.

2) Интегрируем последнее уравнение стандартным методом: составляем характеристическое уравнение , находим его корнии строим общее решение в виде линейной комбинации экспонент, учитывая кратность одного из корней:.

3) Далее, чтобы найти две оставшиеся функции и, дифференцируем дважды полученную функцию

.

Используя связи (3.1) между функциями системы, восстанавливаем оставшиеся неизвестные

.

Ответ. ,,.

Может оказаться, что все известные функции кроме одной исключаются из системы третьего порядка уже при однократном дифференцировании. В таком случае, порядок дифференциального уравнения для ее нахождения будет меньше, чем число неизвестных функций в исходной системе.

Пример 3.2. Проинтегрировать систему

(3.2)

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, находим

.

Исключая переменные ииз уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

(3.3)

2) Из первого уравнения системы (3.2) имеем

(3.4)

Подставляя в третье уравнение системы (3.2) найденные выражения (3.3) и (3.4) для и, получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции

Интегрируя это неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка, найдем Используя (3.4), находим функцию

Ответ. ,,.

Задание 3.1. Решить однородные системы сведением к одному дифференциальному уравнению.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29. 3.1.30.

3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения фундаментальной системы решений

Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.

Пример 3.3. Решить систему

(3.5)

Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде

. (3.6)

2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора . Подставляя функциив (3.6) и сокращая на, получим

или

, (3.7)

то есть число должно быть собственным числом матрицы, а векторсоответствующим собственным вектором.

3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

,

то есть . Отсюда находим собственные значения.

4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение , получим систему для нахождения первого собственного вектора

или

Отсюда получаем связь между неизвестными . Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая, тогда, то есть векторявляется собственным для собственного значения, а вектор функциифундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корняв (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора. Откуда получаем связь между его компонентами. Таким образом, имеем второе фундаментальное решение

.

5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений

или в координатном виде

.

Ответ. .

Задание 3.2. Решить системы, находя фундаментальную систему решений.