3.4.1. 3.4.2.

3.4.3. 3.4.4.

3.4.5. 3.4.6.

3.4.7. 3.4.8.

3.4.9. 3.4.10.

3.4.11. 3.4.12.

3.4.13. 3.4.14.

3.4.15. 3.4.16.

3.4.17. 3.4.18.

3.4.19. 3.4.20.

3.4.21. 3.4.22.

3.4.23. 3.4.24.

3.4.25. 3.4.26.

3.4.27. 3.4.28.

3.4.29. 3.4.30.

3.5. Исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя системы нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

В ряде случаев, в том числе при решении физических задач (см. ниже п. 3.7), исследование на устойчивость точки покоя нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка можно заменить исследованием на устойчивость точки покоя линейной системы. Этот метод называют исследованием на устойчивость по первому приближению. Покажем его применение на примере.

Пример 3.6. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы

(3.10)

Решение. 1) Раскладываем функции по формуле Тейлора

(3.11)

2) Взяв из разложений (3.11) только линейные и подставив их вместо функций в (3.10), получим систему первого приближения

3) Составляем характеристическое уравнение для системы первого приближения . Находим его корни.

4) Так как , то точка покоя системы линейного приближения устойчива.

Согласно теории, если все корни характеристического уравнения для системы линейного приближения имеют отрицательные действительные части, то точки покоя системы первого приближения и исходной системы дифференциальных уравнений одновременно устойчивы, причём асимптотически.

Если среди корней характеристического уравнения хотя бы один имеет положительную действительную часть, то точки покоя системы первого приближения и исходной нелинейной системы одновременно неустойчивы.

Если все действительные части корней характеристического уравнения неположительные, причем действительная часть хотя бы одного из них равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению невозможно, так как в исходной нелинейной системе на устойчивость начинают влиять нелинейные члены разложения функций в ряд Тейлора.

В рассматриваемом примере комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Поэтому точка покоя системы линейного приближения, а вместе с ней точка покоя исходной нелинейной системы являются асимптотически устойчивыми.

Ответ. Асимптотически устойчива.

Задание 3.5. Исследовать на устойчивость по первому приближению точки покоя систем.

3.5.1. 3.5.2.

3.5.3. 3.5.4.

3.5.5. 3.5.6.

3.5.7. 3.5.8.

3.5.9. 3.5.10.

3.5.11. 3.5.12.

3.5.13. 3.5.14.

3.5.15. 3.5.16.

3.5.17. 3.5.18.

3.5.19. 3.5.20.

3.5.21. 3.5.22.

3.5.23. 3.5.24.

3.5.25. 3.5.26.

3.5.27. 3.5.28.

3.5.29. 3.5.30.

3.6. Исследование на устойчивость решений физических задач

Пример 3.7. Заряженный шарик с зарядомможет двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются отрицательные зарядыина расстояниидруг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

Решение.1) Выберем систему координат так, что её начало – в положении равновесия шарика, а осьнаправим вдоль линии, на которой расположены заряды, в направлении от 1-го заряда ко 2-му (рис.3.1). Обозначим какирасстояния от положения равновесия шарика до зарядов.

2) Пусть в некоторый момент шарик отклонён от положения равновесия на малую величину, тогда проекции на осьсил притяжения, действующих на шарик со стороны 1-го и 2-го зарядов, суть (– постоянная закона Кулона)

. (3.12)

В положении равновесия , поэтому

, (3.13)

откуда получим расстояние от шарика до 1-го заряда в положении равновесия

. (3.14)

3) Используя 2-й закон Ньютона, запишем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика вдоль оси

, (3.15)

где – масса шарика. С учётом (3.12) уравнение (3.15) принимает вид

. (3.16)

4) Исследуем положение равновесия (3.14) на устойчивость по линейному приближению, линеаризовав по уравнение (3.16). Для этого разложим проекции сил (3.12) по степеням, ограничившись линейными членами:

.

Вычисляя, имеем

,

поэтому

. (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.15), получим линеаризованное уравнение

,

которое с учётом (3.13) принимает вид линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

. (3.18)

5) Характеристическое уравнение для (3.18) имеет вид

,

а его корни – действительные

,

причём , поэтому положение равновесия шарика – неустойчивое.

Ответ. В положении равновесия расстояние от шарика до 1-го заряда , равновесие неустойчивое.

3.6.1. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Слева и справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются положительные зарядыина расстояниидруг от друга. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.2. Заряженный шарик с зарядом может двигаться без трения по горизонтальному желобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются зарядыина расстояниидруг от друга, причем положительный заряд ближе к шарику, чем отрицательный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.3.Заряженный шарик с зарядомможет двигаться без трения по горизонтальному жёлобу. Справа от него на одной линии с ним неподвижно располагаются зарядыина расстояниидруг от друга, причём отрицательный заряд ближе к шарику, чем положительный. Найти положение равновесия шарика и исследовать его на устойчивость.

3.6.4.Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения, подвешена на пружине жёсткости, нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно. Площадь каждой из обкладок, электрическая постоянная. Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.

3.6.5.Верхняя обкладка плоского воздушного конденсатора, подключённого к источнику постоянного напряжения, подвешена на пружине жёсткости, нижняя – неподвижна, причём в положении равновесия расстояние между обкладками равно. Площадь каждой из обкладок, электрическая постоянная. Исследовать положение равновесия верхней обкладки на устойчивость. Краевыми эффектами пренебречь.

86