22. Пояснити різницю між зображенням синусоїдальних величин за допомогою векторів та поданням їх з використанням комплексних чисел?

Векторне	Комплексне
Підсумовування синусоїдних сигналів суттєво спрощується якщо їх представити за допомогою векторів, що обертаються. Проекція вектору з модулем , що обертається з кутовою частотою . Розгортка цієї проекції у часі і дає нижче намальований графік синусоїди. Зображення векторів однакової частоти враховує також їх фазовий зсув. На декартовій площині з початку координат проводять вектори, рівні по модулю амплітудним значенням синусоїдних величин, і обертають ці вектори проти годинникової стрілки з кутовою частотою, рівної ω. Фазовий кут при обертанні відраховує від позитивної півосі абсцис. Проекції обертових векторів на вісь ординат дорівнюють миттєвим значенням ЕРС е1 й е2. Визначення амплітуди струмів та напруг, а також початкової фази шляхом відповідних тригонометричних перетворень виходить досить громіздким і мало наочним, особливо, якщо сумується велика кількість синусоїдних величин. Значно простіше це здійснюється за допомогою векторної діаграми.	Якщо початок вектора сумістити з початком координат комплексної площини, то цей вектор можна записати комплексним числом , де модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора, а аргумент вектора – куту вектора з віссю дійсних значень. Проекцією вектора на вісь дійсних чисел наз. дійсною частиною комплексного числа і позначають , проекцію на вісь умовних чисел – умовною частиною і позначають . Кожному вектору на комплексній площині відповідає певне комплексне число, що може бути записане в : показниковій    тригонометричній       алгебраїчній     – формах. Наприклад, ЕРС , що зображається обертовим вектором, відповідає комплексне число: .
Резистор. На резисторі напруга й струм збігаються по фазі. Вектори напруги й струму збігаються за напрямком.	; , - розділимо перший з виразів на другий: або Відношення двох комплексів в цьому випадку є дійсна константа.
Конденсатор. Напруга на конденсаторі відстає по фазі від струму на π/2.	; , - розділимо перший з виразів на другий: або . В останньому співвідношенні  – комплексний опір конденсатора. Множення на відповідає повороту вектора на кут π/2 по годинній стрілці.
Котушка індуктивності. Напруга на котушці індуктивності випереджає по фазі струм на π/2.	; , розділимо перший з них на другий: або В останньому співвідношенні – комплексний опір котушки індуктивності.

24. Виконати аналіз перехідних процесів при закороченні послідовно з’єднаних резистора R та котушки L, в яких до комутації протікав постійний струм величиною I₀

Короткое замыкание в цепи с резистором и катушкой

Рис. 5.2

Исследуем электромагнитные процессы в цепи, изображенной на рис. 5.2, происходящие после замыкания ключа.

Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации (до замыкания ключа) и определим из него независимое начальное условие — ток в катушке в момент t = 0-, непосредственно предшествующий коммутации

i(0-) = i(0+) = E / (Rвн + R).

Найдем установившийся ток i после коммутации. Так как во вновь образованном контуре из катушки L и резистора R нет источника, то iy = 0.

Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:

Характеристическое уравнение имеет вид:

pL + R = 0.

Общее решение уравнения для свободной составляющей:

iсв = A e^(pt),

где: А – постоянная интегрирования;

p = - R/L, c^(-1) – корень характеристического уравнения.

Записав общий вид переходного тока катушки

i = iу + iсв = A e^(pt),

приравниваем его значение i(0+) = A в точке t = 0+ к значению i(0-), найденному в п. 1. Получаем искомую константу

A = E / (Rвн + R) = I0.

Переходный ток i = iу + iсв при этом равен

где τ = L / R – постоянная времени цепи.

Постоянная времени – это время, в течение которого свободная составляющая процесса уменьшается в е = 2,72 раза по сравнению с начальным значением.

Рис. 5.3

График изменения переходного тока показан на рис. 5.3.

Определим э.д.с. самоиндукции катушки

t ≥ 0.

В момент коммутации эта э.д.с. равна напряжению на сопротивлении R, а в дальнейшем уменьшается по экспоненциальному закону. На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

При коротком замыкании в рассматриваемой цепи ток в ней изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального значения до нуля.

Скорость изменения тока определяется постоянной времени цепи, которая равна индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление цепи.

Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается при t ≈ (3…5)τ , когда первоначальное значение тока уменьшается по модулю на порядок.

Напряжение на катушке в начальный момент времени равно напряжению на активном сопротивлении:

uL(0+) = I0R.

С энергетической точки зрения рассматриваемый переходный процесс характеризуется расходом энергии магнитного поля катушки на тепловые потери в резисторе. Следует отметить, что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты W, а на начальное значение напряжения катушки и длительность процесса. В самом деле