4. Коэффициенты Ламе
Рассмотрим
вектор
- радиус-вектор точки
(рис. 13). Очевидно, что производная
лежит на касательной к годографу вектора
,
построенному в предположении, что
меняется только координата
,
а координаты
и
остаются неизменными в сторону возрастания
координаты
.
Очевидно, что
.
Аналогично
,
.
Выражения
называются коэффициентами Ламе. Так
как радиус-вектор точки
.
,
то, выполняя дифференцирование, получим
(4)
Принимая во внимание эти соотношения, нетрудно получить такие выражения для коэффициентов Ламе:
(5)
Примем во внимание соотношения (4) и (5), тогда выражение для ортов криволинейных координат запишутся так:
5. Сферические координаты
С
ферическими
координатами точки
называются параметры
,
и
(рис. 14), где
- расстояние от точки
до начала координат
- угол, отсчитываемый от оси
до вектора
;
рис. 14
- угол между плоскостью
и плоскостью, проходящей через точку
и ось
(
).
Очевидно,
что в сферических координатах координатными
поверхностями являются также
поверхности : -
- сфера радиуса
с центром в начале координат;
- конус с вершиной в начале координат,
образующие которого составляют угол
с осью
;
- плоскость, проходящая через ось
и образующая угол
с координатной плоскостью
.
Сфера
и конус
пересекаются по окружности, которая
представляет собой координатную
линию
.
Сфера
и плоскость
пересекаются по окружности (координатная
линия
).
Конус
и плоскость
пересекаются по прямой (координатная
линия
).
Орты криволинейной сферической системы
координат изображены на рис. 14.
Непосредственно из рис. 14 можно установить связь между декартовыми и сферическими координатами.
.