Разделяя переменные, получим . Откуда следует общий интеграл уравнения . Учитывая, что интегральная кривая проходит через точку , имеем . Итак, векторная линия, проходящая через точку , представляет собой окружность .

2. Поток векторного поля через поверхность. Его механический смысл

П

рис. 5

усть в поле вектора находится двухсторонняя поверхность . Выберем на ней элементарную площадку, площадь которой равна . Выберем на ней определённую сторону и пусть нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, есть . Будем считать, что в пределах выбранной площадки вектор постоянен, обозначим через проекцию вектора на направление нормали (рис. 5).

Определение. Элементарным потоком векторного поля через площадку в выбранную сторону называется .

Разбивая поверхность на ячейки и суммируя элементарные потоки вектора по всем частичным ячейкам при условии, что ранг дробления стремится к нулю, получим ; называется потоком векторного поля через поверхность в выбранную сторону.

Выясним теперь механический смысл потока векторного поля (рис. 5).

Допустим, что указанная выше поверхность лежит в векторном поле скоростей текущей жидкости. Тогда за время , исходя из данного момента времени , частицы жидкости продвинутся через элементарную площадку и заполнят наклонный цилиндр, основанием которого является элементарная площадка, а высота , если векторы и лежат в одном полупространстве. Масса частиц жидкости, заполнявших этот цилиндр, , где - плотность текущей жидкости. Выполняя суммирование всех этих масс по всей поверхности , получим

.

Правая часть этого соотношения даёт нам количество жидкости, протекающей через поверхность за время , тогда очевидно, что выражение даёт нам количество жидкости, протекающей через поверхность в выбранную сторону за единицу времени. В этом и заключается механический смысл потока векторного поля.

§ 3. Теорема Остроградского (векторная форма). Дивергенция векторного поля и её механический смысл

Рассмотрим поле вектора

.

Определение. Дивергенцией векторного поля называется выражение

.

Очевидно, что с помощью оператора Гамильтона дивергенцию можно записать так: .

Теорема Остроградского (векторная форма).

Поток векторного поля через замкнутую поверхность наружу равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по телу , ограниченному поверхностью , т.е. короче:

.

Доказательство. Мы будем предполагать, что выполняются условия, при которых существуют интегралы, о которых речь пойдёт ниже.

Рассмотрим поток векторного поля через поверхность наружу: , где - есть внешняя нормаль к поверхности , ограничивающей тело , - проекция вектора на эту нормаль.

Пусть нормаль образует углы , , с координатными осями , и соответственно, тогда , где - есть орт, соответствующий вектору и при этом . Тогда поток можно выразить так:

.

Воспользуемся теперь формулой, устанавливающей связь между поверхностными интегралами первого и второго рода, тогда выражение для потока можно записать так:

.

Вспоминая, что под знаком тройного интеграла в правой части стоит дивергенция векторного поля , тогда окончательно можно написать

.

Выясним теперь механический смысл дивергенции векторного поля.

Допустим, что векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости и пусть плотность этой жидкости . Возьмём в поле вектора замкнутую поверхность , ограничивающую малый объём. По теореме Остроградского

.

Применяя теорему о среднем, получим , где -некоторая "средняя точка", лежащая в теле . Отсюда

.

Сжимая тело в точку, в пределе проучим

.

Вывод: дивергенция векторного поля даёт нам расход жидкости из точечного источника в единицу времени, т.е. удельную силу источника. Заметим, что если в данной точке положительна, то это значит, что в этой точке происходит втекание жидкости (т.е. в этой точке сток).

Принимая во внимание это рассуждение, можно дать механическое истолкование теоремы Остроградского:

расход жидкости из тела , ограниченного поверхностью , в единицу времени равен сумме попарных произведений сит источников.

Заметим, что попутно мы доказали независимость дивергенции векторного поля от выбора системы координат. Действительно, с одной стороны

,

а с другой - это удельная сила источника, а независимость последней от системы координат очевидна.

П ример. Найти поток векторного поля из тела, ограниченного координатными плоскостями , , и плоскостью наружу по теореме Остроградского и непосредственно (рис. 6).

Решение.

1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём .

Имеем: , , . Значит, ,

Следовательно, .

Поток векторного поля .

2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.

Имеем: , где полная поверхность тела , состоящая из четырёх частей: ; здесь , и - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;

, , .

Поток можно представить в виде суммы четырёх потоков:

. Вычислим каждый из потоков:

1. , , т.е.

, , , .

Следовательно, , т.к. на поверхности .

2. , , т.е.

, , .

Таким образом: . Здесь , причём на , следовательно, .

3. , , т.е.

, , ,

, т.к. на поверхности .

4. .

Поверхность имеет уравнение , следовательно,

,

тогда . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности , значит направляющие косинусы нормали будут равны:

.

Тогда получим

.

Окончательно: .

3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода .

В нашем случае , как и в предыдущем случае, поток представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности , , , :

1. На , , а значит .

2. На , , а сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя, значит

3. На , , сторона поверхности нижняя значит .

4.

.

На .

Следовательно,

.