.

Следовательно,

Итак, мы получили:

(1)

Формула (1) устанавливает связь между тройным интегралом по телу и поверхностным по полной поверхности, ограничивающей это тело, причём поверхностный интеграл вычисляется по внешней стороне поверхности тела .

Формула (1) называется малой формулой Остроградского.

Допустим, что в теле определены ещё две функции и , имеющие непрерывные частные производные и . Совершенно аналогично можно доказать ещё две малые формулы Остроградского:

(2)

(3)

Складывая почленно формулы (1), (2) и (3), получим большую формулу Остроградского или просто формулу Остроградского:

Если , и - углы нормали к внешней стороне поверхности с координатными осями , и , тогда в правой части формулы Остроградского можно перейти к поверхностному интегралу первого рода:

Замечание. Обратим внимание на то, что формула Остроградского позволяет легко получить формулу для вычисления объёма тела с помощью поверхностного интеграла по поверхности, ограничивающей тело . Действительно, если положить в формуле Остроградского , , , то тогда получим

или

,

где через обозначен объём тела .

§ 4. Формула Стокса

Рассмотрим некоторую двухстороннюю квадрируемую поверхность , ограниченную контуром , который на каждую из координатных плоскостей проектируется в замкнутый самонепересекающийся контур (рис. 5).

П усть в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция , имеющая непрерывные частные производные

и .

Можно доказать, что справедлива формула (малая формула Стокса):

.

Здесь между левой и правой частями равенства такое согласование: интеграл слева берётся по определённой стороне поверхности, а обход контура интегрирования в интеграле, стоящем справа, совершается в таком направлении, чтобы наблюдатель, у которого нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, проходит от ног к голове, оставлял бы поверхность слева от себя.

Допустим далее, что справедливы сделанные выше предположения и, кроме того, на поверхности заданы непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные

, и .

Тогда можно доказать справедливость ещё двух малых формул Стокса:

Складывая почленно все три малые формулы Стокса, получим большую формулу Стокса или просто формулу Стокса:

Глава VI. Элементы теории поля

§ 1. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня

Итак, рассмотрим некоторую область трёхмерного пространства . Если каждой точке этой области поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины , т.е. или , то говорят, что задано скалярное поле. Например, точечный источник тепла создаёт поле температур. Скалярное поле, не меняющееся во времени, называется стационарным, и в этом случае функция не зависит от времени, т.е. . Если же поле меняется во времени, т.е. , то оно называется нестационарным. Например, если вынуть из костра раскаленный камень, то вокруг него образуется нестационарное скалярное поле температур, которое будет меняться с течением времени, т.к. камень будет остывать. Таким образом, очевидно, что стационарное скалярное поле описывается некоторой функцией точки, имеющей три, две или одну координату, в зависимости от того, что представляет собою область . В качестве примера скалярного поля можно привести потенциал электростатического поля, который определяется соотношением , где - заряд, - расстояние точки до заряда, который помещён в начало координат. Очевидно, что функция определяет скалярное поле (потенциал) во всём пространстве, за исключением начала координат, т.к. при потенциал обращается в бесконечность.

Если рассмотреть скалярное поле , то очевидно, что это поле определено лишь в круге радиуса

Допустим теперь, что скалярное поле таково, что функция непрерывна по переменным , и однозначна. Зафиксируем значение скалярной величины , положив его равным , где , т.е. положим . С геометрической точки зрения последнему соотношению соответствует в пространстве некоторая поверхность. Очевидно, что эта поверхность обладает таким свойством, что в каждой её точке поле имеет постоянное значение, равное . Такая поверхность называется поверхностью уровня.

Заметим, что функцию, задающую скалярное поле, независимо от её физического смысла, часто называют потенциалом, а поверхности уровня называют также эквипотенциальными поверхностями, т.е. поверхностями равного потенциала. Очевидно, что различные поверхности уровня не пересекаются, и через такую точку области, где определено скалярное поле, проходит одна из них.

Если скалярное поле плоское, т.е. , то точки, для которых , называют линиями уровня.

Например, скалярное поле имеет в качестве поверхностей уровня концентрические сферы , а поле - концентрические окружности .