- •3. Вычисление площади поверхности тела вращения
- •4. Вычисление объёмов
- •§4. Общая схема применения определённого интеграла
- •1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.
- •2. Работа переменной силы
- •3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость
- •4. Моменты. Центры масс плоских фигур.
- •5. Приложение определённого интеграла к
П ример 6. Найти длину дуги окружности радиуса , записав её уравнение в полярных координатах (рис 11)
Решение. Напомним, что уравнение
окружности радиуса с центром в начале координат имеет вид . Примем во внимание связь между декартовыми и полярными координатами:
(здесь предполагается, что начало декартовых координат совпадает с полюсом , а ось совпадает с полярной осью).
Тогда очевидно, что уравнение окружности в полярных координатах: , причём, когда , текущая точка обегает контур окружности один раз против часовой стрелки.
Имеем , тогда , следовательно .
Итак, мы получили всем известную формулу для вычисления длины дуги окружности радиуса : .
3. Вычисление площади поверхности тела вращения
Р ассмотрим на плоскости некоторую кривую , заданную уравнением . Пусть функция и производная непрерывны на . От вращения кривой вокруг оси получается тело вращения, ограниченное поверхностью вращения. По определению будем считать площадью поверхности вращения площадь поверхности, которая получается от вращения ломаной линии , вписанной в кривую (рис 12) при условии, что число точек дробления бесконечно возрастает, а ранг дробления при этом стремится к нулю.
От вращения хорды получим усечённый конус, боковая поверхность которого
,
где .
Площадь поверхности вращения таким образом приблизительно равна
Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, получим точное равенство
П ример 7. Кривая вращается вокруг оси , найти площадь поверхности, ограниченной плоскостью и получившейся поверхностью вращения.
Р
рис 13
Получим
.
Подставим сюда , тогда будет
,
что легко проверить, вычислив площадь боковой поверхности конуса
Итак кв.ед..
4. Вычисление объёмов
Р
рис 14
.
На каждом частичном участке возьмём произвольную точку . Площадь этого сечения . Элементарный объём , тогда очевидно, что объём рассматриваемого тела
.
В частности, отсюда нетрудно получить формулу объёма тела вращения, которая получается от вращения вокруг оси ( предполагается непрерывной на промежутке ). Действительно, в этом случае площадь сечения представляет собою круг радиуса , следовательно площадь сечения равна . А тогда объём тела вращения
Пример 8. Найти объём шара радиуса .
Решение. На шар будем смотреть как на тело вращения. Здесь . Тогда
.
Получим известную формулу для объёма шара радиуса :
куб.ед..
§4. Общая схема применения определённого интеграла
1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.
Выше мы рассмотрели различные случаи применения определённого интеграла для решения геометрических задач. Но область применения определённого интеграла очень обширна и независимо от конкретного содержания задачи приходится действовать по вполне определённой схеме.
Пусть требуется определить некоторую постоянную величину , связанную промежутком . Эту величину мы будем предполагать аддитивной, т.е. такой, что разложение отрезка точкой на части и влечёт за собой разложение на соответствующие части величины , причём значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме её значений, соответствующих отрезкам и .
Переходя к решению задачи по определению величины , разложим отрезок при помощи точек
на частей
- длина -го частичного промежутка, - ранг дробления. В соответствии с разложением промежутка величина разложится на слагаемых :
.
Допустим теперь, что существует такая функция , что "элементарное" слагаемое , соответствующее промежутку длины , приближенно может быть записано в виде
,
где лежит между и , причём ошибка этого равенства при бесконечно малом ранге дробления будет бесконечно малой, порядка высшего, чем , т.е.
.
В этом случае для получается приближённое выражение
,
тем более точно, чем меньше . Стало быть, точное значение будет служить пределом суммы при , или, что то же самое,
(1)
На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если элемент величины , отвечающий элементарному отрезку , представим в виде
,
т.е.
,
то равенство (1) верно.