- •3. Вычисление площади поверхности тела вращения
- •4. Вычисление объёмов
- •§4. Общая схема применения определённого интеграла
- •1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.
- •2. Работа переменной силы
- •3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость
- •4. Моменты. Центры масс плоских фигур.
- •5. Приложение определённого интеграла к
2. Работа переменной силы
Задача 1. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса ?
Р ешение. Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобьём полушар на элементы толщины (рис 1). Элементарная сила (сила тяжести), действующая в направлении оси на слой, толщиной , с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно равна , гда - плотность воды, - ускорение свободного падения. Следовательно, элементарная работа силы равна
,
где - уровень воды, ; отсюда находим
.
3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость
Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади с глубиной погружения равна
,
где - плотность жидкости, - ускорение свободного падения.
Задача 2. Треугольный щит вертикально опущен в воду, причём основание треугольника находится на уровне воды (рис 2). Требуется найти силу давления на одну из сторон щита, если щит имеет форму равностороннего треугольника .
Р
рис 2
,
откуда и, следовательно, элементарное давление на полоску ширины равно . Отсюда
Задача 3. Найти силу давления , испытываемую полукругом радиуса , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды (рис 3).
Разобьём площадь полукруга на элементы (полоски) ширины , параллельные поверхности воды.
П лощадь одного такого элемента (отбрасывая бесконечно малые высшего порядка), находящегося на расстоянии от поверхности воды, равна
.
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна , где - плотность воды, - ускорение свободного падения. Отсюда вся сила давления есть
4. Моменты. Центры масс плоских фигур.
Моментом инерции относительно оси материальной точки , имеющей массу и отстоящей от оси на расстояние , называется величина .
Моментом инерции относительно оси системы материальных точек с массами называется сумма
где - расстояния точек до оси . В случае сплошной массы, распределённой в плоской области, вместо суммы должен быть соответствующий интеграл.
Задача 4. Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где - площадь пластинки.
Р ешение. За основание треугольника примем ось , а его высоту за ось (рис 4). Разобьём треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины , играющие роль элементарных масс .
Используя подобие треугольников получаем:
.
Площадь бесконечно тонкой горизонтальной полоски ширины равна , тогда получим
,
откуда .
Следовательно, .
Статическим моментом относительно оси материальной точки , имеющей массу и отклонение (с учётом знака) оси , называется величина .
Статическим моментом относительно оси системы материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью и имеющих отклонения (с учётом знаков) от этой оси (рис 5) называется сумма
.
Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости , то вместо сумм должен быть соответствующий интеграл.
рис 6
Задача 5. Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса и плотность , относительно основания полукруга.
Решение. Основание полукруга поместим на ось , а за ось примем перпендикуляр к оси , проходящий через центр полукруга (рис 6). Разобьём полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины . Элементарный статический момент этой бесконечно тонкой полоски относительно оси будет равен , следовательно, .
Из треугольника (рис 6) по теореме Пифагора находим .
Следовательно,
.
Интегрируя это равенство по , получим:
.
Координаты центра масс плоской фигуры массы вычисляются по формулам
где и - статические моменты плоской фигуры массы .
Задача 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в предыдущем примере.
Р ешение. Так как пластинка предполагается однородной (плотность ), то в силу симметрии пластинки её центр масс должен лежать на оси , т.е. (рис. 7).
Масса пластинки равна
а так как из предыдущего примера известно, что , то будем иметь . Итак, - центр масс однородного полукруга радиуса .