- •3. Вычисление площади поверхности тела вращения
- •4. Вычисление объёмов
- •§4. Общая схема применения определённого интеграла
- •1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.
- •2. Работа переменной силы
- •3. Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость
- •4. Моменты. Центры масс плоских фигур.
- •5. Приложение определённого интеграла к
5. Приложение определённого интеграла к
экономическим задачам
Рассмотрим следующую типовую задачу.
Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность её выпуска в различные моменты времени может быть различной в силу неравномерности поставок сырья и других причин. Интенсивность выпуска продукции обозначим - это количество выпущенной продукции за единицу времени, начиная с момента (в предположении, что с этого момента интенсивность постоянна).
Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону , в силу различной стоимости сырья, стоимости труда, величины налогов и т.д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени . Будем предполагать функции и непрерывными.
Пусть - искомая стоимость. Подсчитаем стоимость продукции, выпущенной за промежуток времени . Если бы интенсивность и стоимость за этот малый промежуток времени не менялись, то . Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью , пропорциональной , что можно записать в виде
.
Здесь - бесконечно малая высшего порядка, чем при . Действительно, за бесконечное время функции и изменятся на бесконечно малые величины и соответственно, что в произведении с даст бесконечно малую высшего порядка, чем . Эта бесконечно малая отнесена в .
Итак, слагаемое есть главная часть , пропорциональная , т.е. по определению - дифференциал функции - стоимость выпущенной продукции к моменту , начиная с какого-либо фиксированного момента:
.
Тогда, интегрируя дифференциал в пределах и , находим
.