§ 6. Потенциальное векторное поле
Определение.
Векторное поле
,
в каждой точке которого выполняется
условие
,
называется потенциальным
или безвихревым.
Теорема.
Для того, чтобы поле вектора
было потенциальным, необходимо и
достаточно, чтобы поле вектора
было бы полем градиента некоторого
скаляра
.
Доказательство.
Достаточность. Пусть
,
т.е.
,
т.е.
.
Найдём координаты вектора :
,
аналогично
,
т.е.
,
значит поле вектора
безвихревое, т.е. потенциальное.
Необходимость. Пусть . Возьмём замкнутую кривую , лежащую в поле вектора , тогда будет
,
т.е.
,
следовательно,
.
Мы пришли к тому, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю, а это, как известно, может быть лишь в том случае, когда под знаком интеграла стоит полный дифференциал некоторой функции , т.е.
.
Отсюда следует, что
,
т.е.
.
Теорема доказана.
Замечание 1. Заметим, что функция , градиент от которой является полем вектора , называется потенциалом. Так как в этом случае криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования, то потенциал векторного поля можно найти, вычислив интеграл
.
Замечание 2. Из доказанной теоремы ясно, что потенциальное поле можно определить и по-другому, а именно: дать другое эквивалентное определение.
Поле вектора называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скаляра .
Замечание 3. Учитывая физический смысл криволинейного интеграла, приходим к выводу, что работа потенциального векторного поля вдоль некоторой кривой не зависит от формы кривой и равна разности значений потенциала поля в начальной и конечной точках интегрирования. А тогда можно дать ещё одно эквивалентное двум предыдущим определение потенциального векторного поля.
Векторное поле называется потенциальным, если работа вдоль любой замкнутой кривой равна нулю.