- •§ 2. Тройной интеграл
- •1. Определение тройного интеграла
- •2. Вычисление тройного интеграла
- •3. Геометрический смысл тройного интеграла
- •§ 3. Приложения двойных и тройных интегралов
- •5. Вычисление массы тела
- •6. Моменты плоской фигуры
- •7. Координаты центра масс
- •§ 4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах
- •1. Криволинейные координаты
- •2. Координатные поверхности
- •3. Координатные линии
- •4. Коэффициенты Ламе
- •5. Сферические координаты
3. Геометрический смысл тройного интеграла
В том случае, если подынтегральная функция , то очевидно, что тройной интеграл даёт нам объём тела , по которому ведётся интегрирование.
Пример 1. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью (рис. 11).
Решение. Искомый объём , где тело есть пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями.
Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:
или
или
Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим
.
Имеем .
Наконец, куб. ед.
§ 3. Приложения двойных и тройных интегралов
1. Вычисление площади плоской области
Мы установили, что площадь плоской области может быть вычислена по формуле
.
2. Вычисление площади кривой поверхности
Ранее мы установили, что площадь кривой поверхности , заданной уравнением и расположенной над областью в плоскости , вычисляется по формуле
,
где .
3. Вычисление объёма тела
Пусть тело ограничено снизу простой областью , сверху - поверхностью непрерывна в области , а с боков цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит контур области , то объём тела можно вычислить с помощью двойного интеграла так:
или так:
.
4. Вычисление массы поверхности
Пусть в каждой точке поверхности , заданной уравнением плотность равна , где - непрерывная функция в каждой точке поверхности , а функция - непрерывна в области плоскости и имеет в ней непрерывные частные производные
и .
Разбивая произвольным образом поверхность на частей, заметим, что масса -й ячейки приблизительно равна , где - площадь -й ячейки, тогда масса всей поверхности :
.
Справа здесь стоит интегральная сумма для непрерывной функции. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе мы получим такую формулу для вычисления массы поверхности :
.
В частности, если поверхность лежит в плоскости , т.е. совпадает с областью , то .
5. Вычисление массы тела
Если в каждой точке тела , ограниченного простой поверхностью, задана плотность , где - непрерывная функция в каждой точке тела , то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что масса тела
.
6. Моменты плоской фигуры
Из курсов теоретической механики известно, что статическим моментом материальной точки массы относительно оси называется произведение массы этой точки на расстояние до оси , т.е. .
Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат её расстояния от оси , т.е. .
Статическим моментом системы материальных точек относительно оси называется сумма статических моментов относительно этой оси всех материальных точек, входящих в систему.
Пусть в плоской области распределена масса с плотностью . Разобьём область на частей, - площадь -й ячейки ( ). В ячейке возьмём произвольную точку , тогда в силу сделанного выше определения можем считать, что
.
Измельчая дробление, в пределе получим точные значения для статических моментов области о осей и :
.
Проводя аналогичные рассуждения для моментов инерции области относительно координатных осей, получим
.