- •§ 2. Тройной интеграл
- •1. Определение тройного интеграла
- •2. Вычисление тройного интеграла
- •3. Геометрический смысл тройного интеграла
- •§ 3. Приложения двойных и тройных интегралов
- •5. Вычисление массы тела
- •6. Моменты плоской фигуры
- •7. Координаты центра масс
- •§ 4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах
- •1. Криволинейные координаты
- •2. Координатные поверхности
- •3. Координатные линии
- •4. Коэффициенты Ламе
- •5. Сферические координаты
7. Координаты центра масс
Пусть - плоская область, в которой распределена масса с плотностью . По определению центром масс плоской области называется точка с координатами
,
где - масса плоской области , а и - статические моменты.
Принимая во внимание выражения для массы и статических моментов через двойные интегралы, получим
Рассмотрим теперь некоторое тело , ограниченное простой поверхностью, и пусть в нём распределена масса, плотность которой , то для координат центра масс этого тела получим совершенно аналогичные выражения:
.
§ 4. Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах
1. Криволинейные координаты
О
рис. 12
проходящей через ось и точку (рис. 12). Очевидно, что параметры , и можно выразить через декартовы координаты и . Параметры , и мы можем также назвать координатами точки , .
И вообще, за координаты точки мы можем принять любые три функции:
(1)
лишь бы только соотношениями (1) координаты и определялись однозначно:
(2)
Т.е. ни одно из соотношений (1) или (2) не должно противоречить другим или быть следствием других. Заметим, что из соотношений (2) в этом случае параметры и также будут определяться однозначно. Можно доказать, что эти условия выполняются, если определить , называемый определителем Якоби или якобианом преобразования, отличен от нуля, т.е.
(3)
2. Координатные поверхности
Зафиксируем какую-нибудь координату, определённую соотношениями (1), например , положив , тогда получим (рис. 13).
С геометрической точки зрения этому уравнению в пространстве соответствует некоторая поверхность . Аналогично можно определить координатные поверхности и соответственно:
и .
Координатные поверхности , и при соблюдении условия (2) пересекаются в некоторой точке . Таким образом, точка определяется как точка пересечения координатных поверхностей (рис. 13).
3. Координатные линии
Р ассмотрим пересечения двух координатных поверхностей
.
О
рис. 13
и
даёт нам соответственно координатные линии и .
Очевидно, что в общем случае координатные линии представляют собой некоторые кривые, поэтому координаты и называются криволинейными координатами. Проведем к координатным линиям, пересекающимся в точке , касательные, направления которых соответствуют направлениям возрастания координат. Орты этих осей называются ортами криволинейных координатных осей и обозначаются соответственно и . Систему криволинейных координат называют ортогональной, если ортогональны орты и , т.е. если выполняются условия
.
Заметим, что в декартовой системе координат координатными поверхностями будут являться плоскости, параллельные координатным плоскостям , а координатными линиями - прямые, параллельные осям и .