Взаимное расположение двух линий

Чтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать уравнений этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений

Например, прямая линия и окружность имеют 2 общие точки, так как система из этих уравнений имеет два решения:

.

Уравнение прямой на плоскости

В декартовой системе координат рассмотрим прямую , расположенную под углом к оси (рис. 3.7).

Выберем на прямой L произвольную точку . Из найдем тангенс угла наклона прямой: . Введем угловой коэффициент прямой . Из последнего равенства (3.1)

Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Частные случаи уравнения (3.1):

1. Если , тогда и уравнение (3.1) представляет прямую, проходящую через начало координат под углом к оси (рис. 3.8).

2. Если (т.е. ), тогда и уравнение (3.1) представляет собой прямую, параллельную оси (рис. 3.9).

3. Если , тогда прямая (рис. 3.10). Предположим, что отсекает на оси отрезок, равный (рис. 3.10). Очевидно, что уравнений такой прямой .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении

Пусть прямая образует с осью угол и проходит через точку . Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.1), т.е. . (3.2) Вычитая из (3.1) уравнение (3.2), получим . (3.3) Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть известны две точки, принадлежащие , . Запишем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : . (3.4) Т.к. точка также принадлежит , то ее координаты будут удовлетворять данное равенство: .

Из последнего равенства . Подставляя выражение для в уравнение (3.4): , получим уравнение прямой по двум точкам

(3.5).

Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках

Уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой и его исследование

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:

,

- (3.6)

общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).

1. Если , т.е. уравнение (3.6) не содержит , то оно представляет прямую, параллельную оси (рис. 3.9):

.

Если - уравнение оси .

2. Если (уравнение не содержит ), тогда прямая параллельна оси (рис.3.10):

.

Если - уравнение оси .

3) Если , тогда уравнение имеет вид и прямая проходит через начало координат (рис. 3.8).