5. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования
Гаусса удобно проводить не с самими
уравнениями, а с расширенной матрицей
их коэффициентов
,
получаемой приписыванием к матрице
столбца свободных членов
:
.
Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .
Пример. Методом Гаусса решить систему:
Выпишем расширенную матрицу системы.
Шаг 1.
Поменяем
местами первую и вторую строки, чтобы
стал равным 1.
Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.
Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).
Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.
Шаг 5.
Поменяем
местами второй и третий столбец. (Шаги
3, 4, 5 приведены с тем, чтобы
).
Шаг 6. Элементы
второй строки умножим на 3 и прибавим
их к элементам третьей строки, тогда
под элементом
появится нуль.
(называется
расширенная матрица системы)
.
Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего
уравнения
;
из второго
;
из первого
.
Таким образом,
,
,
.
6. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1В).
Для получения
решения системы
при
в
общем виде предположим, что квадратная
матрица системы
невырожденная, т.е. ее определитель
.
В этом случае существует обратная
матрица
.
Метод обратной матрицы.
Запишем систему в матричной форме:
,
где
-
матрица коэффициентов при переменных,
-
матрица-столбец переменных;
-
матрица столбец свободных членов.
Умножим слева обе части равенства на матрицу :
;
;
;
.
Таким образом, решение системы в матричном виде .
Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
Р е ш е н и е:
Обозначим
;
;
.
Тогда в матричной
форме система имеет вид:
.
Определитель матрицы
,
т.е. обратная матрица
существует:
.
Определим
,
Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождения обратной матрицы.
7. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
, ( ).
В соответствии с обратной матрицей , где - матрица, присоединенная к матрице . Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к , то запишем равенство в развернутой форме:
.
Учитывая, что , получим после умножения матриц:
, откуда следует, что для любого .
На основании свойства 9 определителей , где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно .