Инвариантность формы дифференциала

Если , то из (7.4) имеем .

Рассмотрим сложную функцию , где .

Если функции и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна .

Умножим обе части равенства на : . Таким образом, .

Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Согласно формулы (7.1), , т.е. . При достаточно малых значениях приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу

,

. (7.5)

Формула (7.5) часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .

Решение. Пусть . Найдем . Положим . В соответствии с (7.5) . Для функции имеем . .

30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать). Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Пример. является первообразной для , т.к. .

Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство:

.

Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом:

,

где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

□ Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем: .■

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

□ Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: ■

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

□ Доказательство. Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать: и на основании дифференциал неопределенного интеграла , откуда .■

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где - некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Некоторые табличные интегралы

,
,			,

Пример. Найти .

Решение.

Пример. Найти .

Решение. = .