Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:

.

Это предел функции обозначается: или при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .

Пусть при , .

Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:

(1.1)

или

Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:

, то из неравенств (1.1) следует, что , т.е.:

.

А это и означает, что

13. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при ( ): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при ( ). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.