Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Р е ш е н и е. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:

.

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.

. Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.

Выразим базисные переменные через свободные.

Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :

, .

Из первой строки выразим : ,

.

Общее решение системы уравнений: , .

8. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении: , где - путь, - время, - параметр.

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .

При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.