1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

О пределение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов. Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.

Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца:

Виды матриц:

1) Матрица-строка: ;

2) Матрица-столбец: ; 3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ): ;

6) Единичная матрица (например, 3-го порядка)

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которой для

Пример. Вычислить , если . Р е ш е н и е: .

Если , то (нулевая матрица того же размера).

2. Сложение матриц.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для

Пример. Вычислить С = А + В, если . Р е ш е н и е: .

3. Вычитание матриц.

Разность матриц одинакового размера определяется как .

4. Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, где

Пример. Вычислить произведение матриц , где , .

Р е ш е н и е.

Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно.

= .

Свойства операций сложения и умножения матриц

1. . 5) .

2. . 6) .

3. . 7) .

4. .

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

Пример. , , но .

5. Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .

6. Транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

, ,

т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

1. . 3) .

2. . 4) .

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Определители и их свойства

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

Пример. Вычислить определитель матрицы . Р е ш е н и е. .

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:

П ример. Вычислить определитель . Р е ш е н и е. .

4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Зачеркнем элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца. В результате получается матрица порядка . Пусть дана матрица n-го порядка:

.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Н апример минором матрицы 3-го порядка будет:

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :

.

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

.

Р е ш е н и е:

,	,	,
,	,	,

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -й строки; ).

(разложение по элементам -го столбца; ).

Пример. Вычислить определитель разложением по элементам

а) 1-й строки; б) 1-го столбца.

Р е ш е н и е. а) , б) .