5 Хвильове рівняння

Розглянемо мішану задачу для хвильового рівняння

, (58)

, (59)

, , , (60)

де , , – задані достатньо гладкі функції, що задовольняють умовам

.

Будемо припускати, що задача (58)-(60) має єдиний розв’язок .

, де - замкнений прямокутник.

5.1 Різницева схема

Використовуємо сітку, що побудована на замкненому прямокутнику в попередній задачі, зберігаємо попередні позначення для сіткових функцій. В рівнянні (58) замінимо частинну похідну наближено другою різницевою похідною в напрямку t, а частинну похідну апроксимуємо різницевим оператором , що означений рівністю (42).

Для наближених значень розв’язку одержуємо різницеві рівняння

(61)

Шаблон різницевого рівняння (61) має вигляд

Це рівняння можна розв’язувати явно відносно . Але для того, щоб обчислювати значення різницевого розв’язку на -му шарі, треба мати значення розв’язків на попередніх двох шарах. Ясно, що для організації процедури послідовного відшукання розв’язків на шарах, починаючи з 3-го, треба мати спочатку розв’язки, що відповідають і , тобто на перших двох шарах.

Для цього будемо використовувати початкові умови (59). З першої початкової умови (59) задамо

(62)

На другому шарі задамо

(63)

Доцільність такого визначення можна пояснити наступним чином. Права частина (63) апроксимує многочлен з розкладу Маклорена

Оскільки згідно (59) а з рівняння (58) для частинних похідних розв’язку задачі (58)-(60) виходить

Для апроксимації використовується оператор (дивись (42)).

Згідно крайовим умовам (60) маємо

(64)

Тепер різницева схема (61) - (64) повністю означена. Ця схема явна тришарова.

5.2 Стійкість і збіжність

Можна довести, що вона умовно стійка в деяких нормах. Можна довести, що коли та , то розв’язок різницевої схеми (61) – (64) збігається до розв’язку диференціальної задачі (58) – (60) та має місце

(65)

де

Тобто різницева схема (61) – (64) має другий порядок точності по h та по .

6 Деякі числові методи розв’язання інтегральних рівнянь

6.1 Основні означення та деякі результати теорії

Під інтегральними рівняннями розуміються такі, що містять невідому (шукану) функцію під знаком визначеного інтегралу. В загальному випадку такі рівняння можна представити у вигляді

,

де – шукана функція, а

,

або

.

Ми будемо розглядати лише лінійні рівняння, тобто такі, в які невідома функція входить у першій степені (лінійно).

Рівняння вигляду

, (66)

де – числовий параметр, має назву інтегрального рівняння Фредгольма¹ другого роду. Функція називається ядром. Функції , - відомі.

Рівняння

(67)

називається інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду.

Якщо в (66) на , то одержуємо однорідне рівняння

= . (68)

Параметр в (66) – (68) уводиться з наступних міркувань. Справа в тому, що не для кожного рівняння (66) має розв’язок. Але відповідним варіюванням можна добитися того, щоб розв’язок рівняння (66) існував.

Ті значення , за яких однорідне рівняння має нетривіальний розв’язок ( ) , називаються власними значеннями ядра , а відповідні ненульові розв’язки (68) – власними функціями рівняння. З теорії інтегральних рівнянь відомо [4]:

1) якщо не є власним значенням ядра , то неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма (66) з регулярним ядром та неперервною функцією має єдиний неперервний розв’язок на ;

2) якщо ж є власним значенням, то рівняння (66) або не має розв’язків, або має нескінчену множину розв’язків.

В подальшому будемо припускати, що не є власним значенням.

В різних задачах доводиться мати справу з так званими інтегральними рівняннями Вольтерра²:

1) першого роду

, ; (69)

2) другого роду

, . (70)

Якщо увести функцію

то рівняння Вольтерра зводяться до рівнянь Фредгольма з ядром . Але, як часто це буває в частинних випадках, має сенс вивчати їх окремо.

Якщо ядро та – неперервно диференційовні функції та при , то рівняння Вольтерра першого роду (69) зводиться до рівняння Вольтерра другого роду (70). Дійсно, беручи похідну по від лівої та правої частини (69) та згадавши правило диференціювання інтегралу, підінтегральна функція і верхня межа залежать від параметру, одержуємо

,

звідки

,

де

, .

До інтегральних рівнянь зводяться багато задач математичної фізики, теорії ймовірностей, теорії диференціальних рівнянь тощо.

Деякі класи інтегральних рівнянь допускають розв’язання (точне) в явному скінченому вигляді. Прикладом може слугувати рівняння Абеля

, ,

де – відома неперервно диференційована функція, . Розв’язок цього рівняння має вигляд

Можна навести ще багато таких прикладів. Але в загальному випадку треба використовувати наближені методи розв’язання. Ми розглянемо тільки два найпростіших.