3 Збіжність розв’язку різницевої схеми до розв’язку задачі коші для лінійного рівняння з частинними похідними першого порядку

У розділі 1 розглядалася задача Коші (1), (2), для якої була побудована різницева схема (8),(9). З'ясуємо умови, при яких розв’язок різницевої схеми збігається до розв’язку диференціальної задачі при подрібненні сітки.

3.1 Апроксимація

Насамперед відзначимо, що розв’язок (4) задачі Коші (1), (2) двічі неперервно диференційовний по змінним на всій замкненій смузі

Тому відповідно до формули Тейлора маємо

тобто

де - розв’язок задачі Коші (1), (2),

Звідси

+ . (26)

Оскільки частинні похідні розв’язку задачі (1), (2) неперервні на замкненій смузі то по неперервності цей розв’язок задовольняє рівнянню (1) і при

Отже, виконується рівність

(27)

для всіх і в тому числі й для , що відповідає

Відповідно до означення (9) оператора і в силу (2) розв’язок задачі (1), (2) задовольняє на сітці початковій умові

(28)

Отже на підставі (26)–(28) для розв’язку диференційної задачі Коші (1), (2) виконуються на сітці наступні рівності

на (29)

на (30)

де

(31)

є нев'язка зазначеного розв’язку для різницевого рівняння (8).

У силу (3)-(5) і (31) нев'язка задовольняє нерівності

(32)

де - стала, незалежна ні від , ні від . Початкова ж умова (2), як видно з (9),(30), апроксимується на точно.

Таким чином, різницева схема (8),(9) апроксимує задачу Коші (1),(2) на її розв’язку з першим порядком відносно й .

3.2 Стійкість

Розглянемо різницеву задачу Коші

(33)

де - довільна сіткова функція, задана на причому Ця задача аналогічно (11) може бути записана у вигляді:

(34)

(35)

Припустимо, що

(36)

Тоді очевидно, що і, отже, відповідно до (34) маємо

(37)

Оскільки, згідно (35) то з (37) одержуємо (інтегруючи нерівність до )

Звідси для розв’язку різницевої задачі (33) знаходимо оцінку

де стала не залежить від і і сіткової функції . Ця оцінка і означає стійкість різницевої схеми (вихідної) по правій частині ( за умови (36) ).

3.3 Збіжність

Оскільки початкова умова (2) апроксимується на сітці точно, різницеве рівняння (8) апроксимує диференційне рівняння (1) з першим порядком відносно і , і, нарешті, різницева схема (8), (9) стійка по правій частині, то в силу наслідку з основної теореми за умови (36) маємо

де - розв’язок задачі Коші (1), (2), - розв’язок різницевої схеми (8), (9).

Інакше кажучи, розв’язок різницевої схеми (8), (9) збігається при подрібненні сітки до розв’язку задачі Коші (1), (2) з першим порядком відносно й , якщо з дотриманням вимоги (36).

Можна показати, що умова (36) є істотною і порушення її може привести до відсутності стійкості. А нестійкі різницеві схеми непридатні для практичних цілей хоча б тому, що вони надзвичайно чутливі до похибок округлень.

Якщо в рівнянні (1) похідну замінити інакше, а саме, покласти

то вийде нестійка різницева схема при будь-якому відношенні кроків.

4 Мішана задача для рівняння теплопровідності

4.1 Постановка задачі

Нехай

тобто - замкнений прямокутник, - напіввідкритий прямокутник. Потрібно знайти неперервну на замкненому прямокутнику функцію , що на задовольняє рівнянню теплопровідності

(38)

при задовольняє початковій умові

(39)

а при й підкоряється крайовим умовам

(40)

де - задані досить гладкі функції, причому

Задача (38)-(40) називається мішаною, оскільки вона містить як початкову умову, так і крайові умови. Відомо, що для поставленої задачі існує єдиний розв’язок

Будемо припускати, що цей розв’язок має на замкненому прямокутнику неперервні частинні похідні