4.2 Сітки й норми
Нехай
- кроки по
і
,
де
- натуральні числа,
Побудуємо сітки:
-
всі вузли;
-
внутрішні вузли;
-
вузли граничні.
Задамо
для сіткових функцій, визначених на
або на
,
наступні норми
(41)
4.3 Різницева схема
Введемо різницевої оператор
(42)
Розглянемо різницеву схему
(43)
(44)
де
- сіткова функція
(45)
-
тотожний оператор,
на
(46)
Шаблон різницевого рівняння (43) має вигляд
Такого
роду шаблони називаються двошаровими.
Шар, що перебуває на горизонтальній
прямій
називається нижнім, а для іншої - верхнім.
Як
видно з (42), (43) оператор
діє на верхньому шарі і значення правої
частини
теж на верхньому шарі.
4.4 Обчислювальний алгоритм
Різницеве рівняння (43) з урахуванням (42) може бути записане у вигляді
(47)
Згідно (44), (45) маємо також
(48)
Таким
чином, якщо
відомі ( зокрема,
задані умовою (44)), то для знаходження
розв’язку різницевої схеми (43), (44) на
наступному
-у
шарі потрібно розв’язати різницеве
рівняння (47) з крайовими умовами (48),
тобто систему лінійних алгебраїчних
рівнянь з трьохдіагональною матрицею,
що можна, очевидно, зробити методом
прогонки. Умови застосування методу
прогонки виконуються. Різницева схема
(43), (44) називається неявною,
тому що (на відміну від попереднього
приклада) розв’язок
її не знаходиться по явній формулі шар
за шаром, а доводиться ще й розв’язувати
систему рівнянь в межах чергового шару.
У попередньому прикладі рівняння першого
порядку була побудована явна різницева
схема.
4.5 Апроксимація
Використовуємо отримані нами раніше формули чисельного диференціювання із залишковими членами
(у
першій формулі другий доданок правої
частини взято із плюсом, тому що похідна
взята в точці
,
а не в
).
Таким чином
(49)
(50)
де
(51)
і
- сталі, що не залежать від
В
силу неперервності частинних похідних
на
розв’язок
задачі (38)-(40) задовольняє рівнянню (38)
теж на
,
тобто виконується рівність
(52)
для
всіх
і
,
у тому числі і для
Згідно (49), (50), (52) нев'язка розв’язку задачі (38)-(40) для різницевого рівняння (43) має вигляд
=
Звідки, з урахуванням (51) одержуємо
Таким чином різницеве рівняння (43) апроксимує диференційне рівняння (38) на розв’язку задачі (38)-(40) з другим порядком по і з першим порядком по .
Початкова
умова (39) і крайові умови (40) апроксимуються
на сітці
точно.
4.6 Стійкість і збіжність
Очевидно, нам буде досить досліджувати стійкість тільки по правій частині.
Задамо на довільну сіткову функцію і розглянемо різницеву задачу
(53)
(54)
Задачу (53), (54) можна аналогічно (47), (48) переписати у вигляді
(55)
(56)
Якщо
відомі (зокрема за умовою (54)
),
то для різницевої задачі (55), (56) виконані
умови застосування методу прогонки
(при фіксованому
). Отже ця задача однозначно розв'язувана
на
-ому
шарі.
Очевидно,
є таке
що
(57)
Оскільки
то
і, отже, згідно (55)
З отриманої нерівності з урахуванням (57) виходить нерівність
Ітеруючи
отриману нерівність до
одержуємо
Отже
що і означає стійкість по правій частині різницевої схеми (43), (44) при будь-якому співвідношенні кроків і .
Тепер
з основної теореми теорії різницевих
схем виходить збіжність розв’язку
різницевої схеми (43), (44) до розв’язку
задачі (38) - (40) з другим порядком по
і з першим порядком по
,
тобто
.
Помітимо, що стійкість розглянутої різницевої схеми забезпечена при будь-якому співвідношенні кроків і . Це відрізняє її від різницевої схеми, побудованої в попередньому прикладі, де для доведення стійкості вводилася умова (36).
Означення 5 Різницева схема, стійка при будь-якому співвідношенні кроків і , називається абсолютно стійкою, а стійка при обмеженнях на і - умовно стійкою.
Якщо для однієї й тієї ж задачі можна побудувати різні різницеві схеми, то перевага віддається абсолютно стійким, тому що обмеження можуть виявитися дуже жорсткими для кроків. При цьому, звичайно, потрібно ще враховувати кількість операцій, що витрачаються на реалізацію відповідних обчислювальних алгоритмів.