1.4 Обчислювальний алгоритм

Розв’язавши рівняння (8) відносно , одержуємо

. (11)

Оскільки відомі з початкової умови (9), то за цією формулою можна обчислити “шар за шаром” спочатку для потім для всіх тощо. Так, наприклад,

.

Таким чином, очевидний алгоритм пошарового обчислення наближеного розв’язку вихідної задачі у вузлах сітки.

2 Апроксимація, стійкість, збіжність

Найважливішим питанням при побудові різницевих схем є з'ясування умов, при яких розв’язок різницевої схеми (у нашому випадку (8), (9)) збігається до розв’язку вихідної диференційної задачі (у нашому прикладі (1), (2)) при подрібненні сітки, тобто коли має місце

Як правило, розв’язання поставленого питання здійснюється в кілька етапів: встановлюється властивість апроксимації, потім властивість стійкості й, нарешті, збіжність за принципом “ апроксимація плюс стійкість є збіжність ”.

Розглянемо докладно властивості апроксимації й стійкості.

Нехай є вихідна диференційна задача

(12)

(13)

і відповідна їй різницева схема

на , (14)

на . (15)

Як ми вже відзначали, розв’язок диференційної задачі (12), (13), загалом кажучи, не задовольняє різницевим рівнянням (14), (15). Однак завжди можна написати рівності

на , (16)

на , (17)

де - сіткові функції, що називаються нев'язками розв’язку диференційної задачі для різницевої схеми ( - нев'язка для різницевого рівняння (14),  - нев'язка для крайових умов (15)).

Означення 1 Говорять, що різницева схема (14), (15) апроксимує вихідну диференційну задачу (12), (13) на її рішенні з K-м порядком відносно h, якщо K > 0 і норми нев'язок розв’язку диференційної задачі мають наступні величини:

(18)

Далі всюди будемо припускати, що диференційні оператори і різницеві оператори є лінійними.

У випадку, якщо нев'язка  дорівнює нулю на при будь-якому h, то говорять, що, різницеві крайові умови (15) апроксимують точно задані крайові умови (13) у вихідній задачі.

Означення 2 Говорять, що різницева схема (14), (15) стійка, якщо існує таке , що при будь-якому і довільних сіткових функціях , різницева задача

, (19)

(20)

має єдиний розв’язок , причому виконується нерівність

, (21)

де і — деякі сталі, не залежні ні від h, ні від функцій  , .

Звернемо увагу на те, що властивість стійкості (або нестійкості) різницевої схеми є її внутрішньою властивістю, вона ніяк не пов'язується з тією вихідною диференційною задачею, для якої побудована різницева схема.

Стійка різницева схема, зокрема, стійка до похибок округлень, які часто можна трактувати як адитивні добавки в праві частини рівнянь (14), (15), у вигляді деяких сіткових функцій . При цьому буде мати місце похибка розв’язку різницевої схеми (14), (15), тобто насправді буде вирішуватися різницева задача

на ,

на .

Але, у силу лінійності операторів і , похибка розв’язку z збігається з розв’язком різницевої задачі (19), (20), що відповідно до нерівності (21) буде мале, якщо малі норми похибок .

Важливо також, що постійні і в нерівності (21) не залежать від h , тобто виражаючись мовою фізики, можна сказати, що “чутливість” різницевої схеми (14), (15) (стійкої) до збурювань правих частин при подрібненні сітки не збільшується.

Означення 3 Говорять, що розв’язок різницевої схеми (14), (15) збігається при подрібненні сітки до розв’язку диференційної крайової задачі (12), (13) з K-м порядком відносно h, якщо K > 0 і

(22)

У цьому випадку говорять також, що різницева схема має К-й порядок точності.

Дані вище означення носять загальний характер, тому що під різницевою схемою розуміється не тільки різницева схема й диференційна задача, розглянуті в розділі 1. Сіткова норма , що використовується в (22) може бути визначена й іншим способом.

Однак варто мати на увазі, що наявність збіжності в сенсі (22) при подрібненні сітки залежить від властивостей розв’язку вихідної задачі, від різницевої схеми, а також і від вибору норм в

Тепер сформулюємо основну теорему теорії різницевих схем.

Теорема 1

Нехай різницева схема (14), (15) апроксимує диференційну задачу (12), (13) на її розв’язку з K-м порядком відносно h і нехай вона стійка. Тоді розв’язок різницевої схеми збігається до розв’язку диференційної задачі з тим же порядком відносно h.

Доведення. Оскільки за умовою теореми різницева схема апроксимує диференційну задачу з -порядком, то існують такі числа (згідно (18)) що при виконуються нерівності

(23)

де  - нев'язки розв’яку диференційної задачі (дивися (16), (17)). Віднімаючи від (16), (17) відповідно (14), (15) в силу лінійності операторів і отримаємо

. (24)

Оскільки за припущенням різницева схема стійка, то існують такі числа що при різницева задача (24) розв'язувана однозначно.

При цьому на підставі (21), (23) виконуються нерівності

д е - розв’язок диференційної крайової задачі, - розв’язок різницевої схеми, не залежить від . Основна теорема доведена.

У багатьох випадках крайові умови апроксимуються точно, тобто (нев'язка дорівнює нулю як елемент ). Тоді похибка на сітці є розв’язком крайової задачі

.

У цьому випадку немає необхідності вимагати стійкості ”в цілому “.

Означення 4 Говорять, що різницева схема (14), (15) стійка по правій частині, якщо існують такі числа що при будь-якому й будь-якій сітковій функції різницева крайова задача

(25)

має єдиний розв’язок, причому

З доведення основної теореми легко побачити, що в цьому випадку для збіжності (при наявності апроксимації рівняння (12) різницевим рівнянням (14)) досить, щоб різницева схема була стійка тільки по правій частині.