4.3 Відділення дійсних коренів алгебраїчного рівняння

Задача відділення дійсних коренів алгебраїчного рівняння заключається в тому, щоб кожний з коренів заключити в інтервал, що не містить інших коренів рівняння. Зазвичай для вирішення цієї задачі спочатку знаходять верхню і нижню границі всіх дійсних коренів, що може бути зроблено одним з розглянутих раніше способів. Потім отриманий відрізок розбивають на дрібніші, зазвичай однакової довжини, так, щоб в кожному з них не могло міститися більше одного кореня.

Знайдемо довжину цих частинних відрізків. Для цього розглянемо визначник Вандермонда

де - корені даного рівняння.

В тому, що має місце рівність можна переконатися наступним чином. Віднімаючи перший стовпчик від усіх наступних, отримаємо

Віднімаючи тепер з кожного рядка попередній, помножений на , отримаємо

З визначником Вандермонда , який стоїть в правій частині, зробимо так само, як і з ; в результаті отримаємо

.

Продовжуючи аналогічні викладки далі отримаємо .

Позначимо і піднесемо до квадрату, використовуючи правило множення визначників “ рядок на рядок “. Отримаємо

Знаючи величину можна оцінити відстань між коренями. Дійсно,

де штрих означає, що в правій частині опускається множник .

Якщо - верхня границя модулів коренів рівняння, то

і

Для знаходження знайдемо через коефіцієнти рівняння . Будемо припускати, що , тобто

тоді

З іншого боку (як похідна добутку )

.

Виконавши ділення, отримаємо ( ділимо за схемою Горнера)

або, додавши по всім величини , маємо

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях в і , отримаємо

Для довільного маємо

Для знаходження відповідних виразів при множимо наше рівняння на і в рівнянні

покладемо послідовно Додаючи отримані результати, знайдемо

Ці формули дають можливість послідовно знайти , а потім і , і скористатися оцінкою відстані між коренями .

Наприклад, для кубічного рівняння

матимемо

Однак зазвичай цей спосіб дає занижені значення для , треба велика обчислювальна робота і застосовується він для рівнянь невисоких ступенів.

Література

1. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука,1987.

2. Самарський А.А., Гулин А.В. Численне методы. – М.: Наука,1989.

3. Березин И.С., Житков Н.П. Методы вычислений: В 2т. – М.: Наука,1966.

4. Крылов В.И., Бобков В.В, Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. – М.: Наука, 1976; Т.2. – М.:Наука, 1977.

5. Бахвалов Н.С., Житков Н.П., Котельников Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

6. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Приктикум по вычислительной математике. – М.: Высш.шк., 1990.

7. Сборник задач по методам вичислений / Под ред. П.И. Монасты­р­­ного – М.: Наука, 1994.

8. Зеленский К.Х. Компьютерные методы прикладной математики.– К.: Дизайн-В,1999.

1 Коші Огюстен Луї (1789-1857) - французький математик, член Паризької и Петербурзької АН.

Буняковський Віктор Якович (1804-1889) - російський математик, член Петербурзької АН.

2 Інтегральну форму цієї нерівності Буняковський В.Я знайшов за 16 років до Г.А.Шварца, ім’ям якого її іноді називають.

3 Стефан Банах (Гречек) (1892-1945) - польський математик, один із основоположників функціонального аналізу.

4 Названа в честь Нільса Хенріка Абеля (1802 - 1829), норвезького математика, який довів неможливість розв’язання в радикалах загального алгебраїчного рівняння п’ятого степеню.

5 Рівність очевидна в силу того, що для , де =1.

6 Якобі Карл Густав Яков (1804-1851) - німецький математик, член Берлінської АН, член Петербурзької АН.

7 Зейдель Філіпп Людвіг (1821-1896) - німецький астроном и математик, професор Мюнхенського університету

8 Скалярний добуток векторів і з комплексними компонентами і визначається співвідношенням

9 Ліпшіц Рудольф (1832-1903) - німецький математик, професор Бреславльського і Боннського університетів.

10 Лагранж Жозеф Луї (1736-1813) - великий французький математик и механік, член Паризької академії наук.

11 Ньютон Ісаак (1642-1727) - геніальний англійський фізик, астроном и математик, професор Кембріджського університету, президент Лондонської Королівської спілки.

12 Тейлор Брук (1685 - 1731) – англійський математик і філософ, член Лондонської Королівської спілки і її вчений секретар.

13 Чебишов Пафнутій Львович (1821 - 1894) – російський математик і механік, засновник Петербурзької математичної школи, академік, професор Петербурзького університету.

14 Штурм Жак Шарль Франсуа (1803-1855) - французький математик, член Паризької АН, іноземний почесний член Петербурзької АН.

64