- •1 Деякі відомості із функціонального аналізу
- •1.1 Метричні простори
- •1.2 Принцип стискаючих відображень
- •1.3 Лінійні нормовані простори
- •2 Умови збіжності ітераційних методів розв’язання рівнянь і систем
- •2.1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2.2 Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
- •2.2.1 Метод хорд
- •2.2.2 Метод дотичних (Ньютона)
- •3 Мінімізація оцінки похибки інтерполяції
- •3.1 Багаточлени Чебишова
- •3.2 Властивості багаточленів Чебишова
- •3.3 Вузли, які мінімізують оцінку похибки інтерполяції
- •4 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку та їх відділення
- •4.1 Межі розташування коренів алгебраїчного рівняння
- •4.2 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку
- •4.3 Відділення дійсних коренів алгебраїчного рівняння
- •Література
1.2 Принцип стискаючих відображень
Розглянемо відображення метричних просторів. Нехай i два метричних простори і – відображення простору в . Таким чином, кожному ставиться в однозначну відповідність деякий елемент y = із .
Означення 5 Відображення метричного простору в метричний простір неперервне в точці , якщо для будь-якої послідовності { }, яка збігається до , послідовність { } збігається до (мається на увазі збіжність послідовності { } в метриці простору , а збіжність { } в метриці проcтору ). Якщо відображення неперервне в усіх точках простору , то говорять, що неперервне на . Факт неперервності записується так
.
Означення 6 Відображення називається відображенням в себе, якщо для кожного .
Означення 7 Відображення простору в себе називається стискаючим, якщо існує таке число 0 < < 1, що для будь-яких двох точок x, y виконується нерівність
(A , A ) ( , ). (1.4)
Будь яке стискаюче відображення неперервне. Дійсно, якщо , то в силу (1.4) A A .
Теорема 1.1 С.Банаха3 (принцип стискаючих відображень, теорема про нерухому точку).
Будь-яке стискаюче відображення, визначене у повному метричному просторі , має одну і лише одну нерухому точку (тобто рівняння Ах = х має один і лише один розв’язок).
Доведення Нехай – довільна точка в . Припустимо і т.п.; в загальному випадку .
Покажемо, що послідовність { } фундаментальна. Дійсно, припускаючи для визначеності, що m n, маємо
.
(1.5)
Оскільки <1, то при достатньо великому ця величина скільки завгодно мала. Таким чином фундаментальність { } доведена.
В силу повноти послідовність { }, будучи фундаментальною, має границю, яка належить .
Припустимо
.
В силу неперервності відображення А
.
Існування нерухомої точки доведено.
Доведемо, що вона єдина. Якщо , , то нерівність (1.4) приймає вигляд
.
Оскільки <1, звідси виходить, що
,
а на основі аксіоми 1) для метричних просторів
х = у.
Теорема повністю доведена.
При переході до границі m в лівій частині нерівності (1.5) маємо
, (1.6)
що дає оцінку швидкості збіжності послідовності { } до х. Якщо задати точність >0, то можна попередньо знайти таке n, що
.
А точніше, із
маємо
≥ .
Іноді умова стискаючості (1.4) для відображення не виконується, але деяка степінь є стискаючим відображенням. Тоді має місце наступне узагальнення принципу стискаючих відображень.
Теорема 1.2 Нехай – таке відображення повного метричного простору в себе, що відображення при деякому n являється стискаючим; тоді рівняння
Ах = х
має один і лише один розв’язок.
Доведення Візьмемо довільну точку і розглянемо послідовність { } (k=0,1,...). Повністю аналогічним чином, як і в доведенні попередньої теореми, встановлюється, що послідовність
{ }
фундаментальна, і, відповідно, збігається в повному метричному просторі , а також
являється єдиним розв’язком рівняння
, (1.7)
З умови стискаючості відображення виходить існування такого , що
для будь-яких .
Покажемо, що х, який являється єдиним розв’язокм (1.7), є також єдиним розв’язком для рівняння .
Дійсно,
,
звідки виходить, що , тобто
.
Якщо у – інша нерухома точка для , то ця ж точка нерухома і для . Тому
,
а отже і . Звідси виходить, що х – єдина нерухома точка .
Часто розглядають таке відображення , що умова стискаючості (1.4) виконується не в усьому просторі, а лише в деякому замкненому околі
деякої точки (замкненій кулі радіусу r з центром у точці ).
Тоді принцип стискаючих відображень можна застосовувати при додатковій умові, що відображає цю кулю у себе і тому послідовні наближення не виходять за окіл, що розглядається. А точніше, має місце наступна теорема.
Теорема 1.3 Нехай в повному метричному просторі R або на його частині, що вміщує замкнений окіл S елемента , визначене відображення . Нехай для будь-яких
,
і
,
де - деяке фіксоване додатнє число, менше одиниці. Тоді в S існує один і лише один розв’язок рівняння , який може бути отриманий як границя послідовності , де - довільний елемент із .
Доведення Покажемо, що виконує відображення в себе.
Дійсно, для будь-якого маємо
,
тобто .
Далі, із (1.4’) виходить, що це відображення стискаюче. Тепер переконаємось, що сукупність всіх елементів з тим самим поняттям відстані можна розглядати як повний метричний простір. Нехай - будь-яка фундаментальна послідовність елементів із . Вона збігається в , тобто існує елемент такий, що
.
Але , звідки , тобто .
Законність внесення границі під знак функції (тобто неперервність її в точці ) тут можна обґрунтувати наступним чином. Із нерівності трикутника
виходить
.
З іншого боку
,
а це означає,
.
Звідки
.
Оскільки при , то для будь-якого можна знайти таке , що при
,
а це означає, що
.
Куля є повним метричним простором. Тепер твердження теореми прямо виходить із принципу стискаючих відображень.
Розглянуті варіанти принципу стискаючих відображень використовуються не лише для доведення теорем існування і єдиності розв’язків різного роду рівнянь, але як і основний інструмент для побудови і обґрунтування ітераційних методів їх розв’язання.