3 Мінімізація оцінки похибки інтерполяції
Нехай задана функція
.
Виникає питання, як вибрати на відрізку
вузли
інтерполяційного багаточлену
,
щоб максимальна похибка інтерполяції
функції
на цьому відрізку була мінімальною. Ця
задача являється складною і її можна
розв’язати лише для обмеженого класу
функцій
.
Обмежимось розв’язанням більш простої
задачі, а точніше знаходженням такого
мінімального розташування вузлів
інтерполяції
,
,
на відрізку
,
при якому мінімальна величина
і тим самим мінімальна права частина
оцінки похибки
,
де
.
3.1 Багаточлени Чебишова
Спочатку розглянемо випадок
стандартного відрізку
.
Багаточлени Чебишова13
,
на
відрізку
задаються формулою
(3.1)
При цьому, якщо
маємо
(3.2)
(3.3)
Далі використовуємо формулу
звідки
або
Припускаючи
,
у відповідності з
маємо
,
(3.4)
Таким чином дійсно являється алгебраїчним багаточленом степеню .
Припустивши, що
,
на всій осі х
і використовуючи рекурентну формулу
(3.4) знаходимо
3.2 Властивості багаточленів Чебишова
1. При парному (непарному)
багаточлен
містить лише парні
(непарні) степені
,
тобто являється парною (непарною)
функцією. Ця властивість безпосередньо
випливає з формул
.
2. Старший коефіцієнт
багаточленна
при
рівний
.
Дана властивість також слідує з формул
.
3.
має
дійсних коренів в інтервалі
,
які виражаються формулою
І справді,
4.
,
при цьому
, (3.5)
де
Дійсно, відповідно до
5. Багаточлен
(3.6)
серед всіх багаточленів
-го
степеню зі старшим коефіцієнтом, рівним
одиниці, має на відрізку
найменше значення максимуму модуля,
тобто не існує такого багаточлена
-го
степеню зі старшим коефіцієнтом, рівним
одиниці, що
(3.7)
Д
оведення.
Припустимо протилежне: маємо багаточлен
,
який задовольняє нерівність
.
Тоді, оскільки за властивістю 2 у
багаточлена
старший коефіцієнт також рівний одиниці,
різниця
являється алгебраїчним багаточленом
степеню не вище
,
при цьому в силу
.
Крім того, в точках
,
на основі
ця різниця приймає відмінні від нуля
значення з почергово змінним знаком.
Це означає, що алгебраїчний багаточлен
,
меншого степеню, ніж
,
перетворюється в нуль по меншій мірі в
точках, що неможливо.
Примітка. Можна
довести, що, якщо
,
,
,
то
.
Завдяки властивості 5
багаточлени Чебишова
називаються найменш відмінними від
нуля багаточленами.
3.3 Вузли, які мінімізують оцінку похибки інтерполяції
Візьмемо на відрізку
в якості вузлів інтерполяції
корені багаточлена Чебишова
,
тобто
(3.8)
Тоді багаточлен
у якого старший коефіцієнт
дорівнює одиниці, буде пропорційним
багаточлену
і в силу властивості 2 багаточленів
Чебишова через
виражається наступним чином:
.
При цьому у відповідності з властивістю 4 оцінка похибки інтерполяції прийме вигляд:
, (3.9)
де
В силу властивості 5 багаточленів
Чебишова покращити оцінку на відрізку
,
порівняно з оцінкою
, за рахунок вибору вузлів інтерполяції
не можна. Більш того, відповідно
властивості 5 і примітці при будь-якому
виборі вузлів, не співпадаючих з (3.8),
відповідна оцінка максимальної похибки
інтерполяції на відрізку
буде гіршою, тобто вузли інтерполяції
(3.8) являються оптимальними для оцінки
похибки на відрізку
.
У випадку інтерполяції на
довільному відрізку
лінійною заміною незалежної змінної
,
(3.10)
він переводиться у відрізок
.
При цьому кореням багаточлена
Чебишова
відповідають точки
(3.11)
відрізка , які є оптимальними вузлами для оцінки похибки на цьому відрізку.
Відповідно (3.8), (3.10), (3.11) маємо
.
Звідси з урахуванням (3.6) і властивості 4 багаточленів Чебишова отримуємо
.
Таким чином, з урахуванням (3.11) оцінка похибки інтерполяції приймає вигляд
, (3.12)
де
.