4 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку та їх відділення

4.1 Межі розташування коренів алгебраїчного рівняння

Означення 4.1 Рівняння вигляду

, (4.1)

де - дійсні або комплексні числа, - невідоме, називається алгебраїчним рівнянням. Якщо , то називається ступенем рівняння, числа називаються коефіцієнтами рівняння.

В курсі алгебри доводиться, що рівняння (4.1) при має рівно коренів (комплексних або дійсних). Перед тим, як відділяти корені рівняння (4.1), природно знайти межу області, в якій розташовані всі корені рівняння.

Нехай і

Теорема 4.1

Всі корені рівняння (4.1) розташовані в кільці

. (4.2)

Доведення. Використовуємо нерівність , яка випливає з очевидного .

Тоді

.

При маємо

.

Тобто, як тільки

або , тобто при .

Таким чином, всі корені рівняння (4.1) знаходяться всередині круга радіуса .

Далі зробимо заміну . Отримаємо рівняння

, (4.3)

яке, очевидно, має коренями величини, обернені кореням вихідного рівняння. По доведеному раніше всі корені цього рівняння знаходяться всередині круга радіуса , тобто для будь-якого кореня вихідного рівняння має місце нерівність

або .

О б’єднуючи результати, отримаємо нерівність (4.2).

Припустимо, що всі коефіцієнти рівняння (4.1) дійсні числа і . Знайдемо границі дійсних коренів рівняння.

Очевидно, достатньо мати способи визначення границь додатних коренів, оскільки замінивши на ми отримаємо рівняння, корені якого відрізняються від коренів початкового рівняння знаком.

Теорема 4.2 (Лагранжа)

Позначимо через максимум абсолютних величин від’ємних коефіцієнтів рівняння (4.1), і нехай перший від’ємний коефіцієнт в послідовності є . Тоді всі додатні корені рівняння (4.1) менші за .

Якщо від’ємних коефіцієнтів нема, то нема і додатних коренів.

Доведення. Останнє твердження очевидне, оскільки в цьому випадку при .

Розглянемо випадок, коли існує (за припущенням ). Замінимо додатні коефіцієнти нулями, а решту коефіцієнтів на . Тоді при матимемо:

.

Звідси при маємо нерівність , оскільки

,

а це і означає, що всі додатні корені менше за .

За допомогою теореми 4.2 можна знайти границі дійсних коренів грубо. Потім ці границі можна звузити, перевіряючи за певними критеріями числа, менші ніж оцінка в теоремі 4.2. Один з таких критеріїв вказав Ньютон.

Теорема 4.3 (Ньютона)

Нехай . Тоді, якщо при мають місце нерівності

, (4.4)

то рівняння не має дійсних коренів, більших ніж .

Доведення. Дійсно, розкладаючи в ряд Тейлора, маємо

, (4.5)

о скільки і старші похідні від багаточлена -го ступеня дорівнюють нулю. Таким чином, при виконанні умови (4.4) права частина (4.5) строго більше нуля при всіх .

Зауваження. Нижня границя додатних коренів початкового рівняння (4.1) може бути знайдена з рівняння такими ж прийомами, оскільки, якщо є верхня границя додатних коренів останнього рівняння, то буде нижньою границею додатних коренів вихідного рівняння.

4.2 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку

Точне число дійсних коренів алгебраїчного рівняння (4.1), що знаходяться в інтервалі дає теорема Штурма¹⁴. Перед тим, як її формулювати, введемо деякі поняття.

Нехай дана деяка впорядкована скінчена система дійсних чисел, наприклад,

1, 0, 3, -2, 1, -4, -8, -3, 0, 4, 1. (4.6)

Виключимо з цієї послідовності нулі, зберігши порядок решти її членів. Отримаємо послідовність

1, 3, -2, 1, -4, -8, -3, 4, 1. (4.7)

Випишемо послідовно знаки цих чисел:

+ + – + – – –+ +

Бачимо, що в системі знаків чотири рази стоять поряд протилежні знаки. Тому кажуть, що в упорядкованих системах (4.6) і (4.7) має місце чотири зміни знаків.

Розглянемо тепер багаточлен з дійсними коефіцієнтами, причому будемо припускати, що не має кратних коренів. В протилежному випадку його необхідно розділити на найбільший спільний дільник з його похідною.

Означення 4.2 Скінчена впорядкована система відмінних від нуля багаточленів з дійсними коефіцієнтами

(4.8)

називається системою Штурма для , якщо виконуються наступні вимоги:

1) сусідні багаточлени системи (4.8) не мають спільних коренів;

2) останній багаточлен не має дійсних коренів;

3) якщо - дійсний корінь одного з проміжних багаточленів системи (4.8), , то і мають різні знаки;

4) якщо - дійсний корінь багаточлена , то добуток міняє знак з мінуса на плюс, коли , зростаючи, проходить через точку .

Питання про те, як побудувати систему Штурма для багаточлена, буде розглянуте пізніше; зараз же, припускаючи, що таку систему має, покажемо, як вона може бути використана для знаходження числа дійсних коренів на інтервалі .

Якщо дійсне число не є коренем даного багаточлена , а (4.8) – система Штурма для нього, то візьмемо систему дійсних чисел

викреслимо з неї всі числа, що дорівнюють нулю, і позначимо як число змін знаків в утвореній системі; будемо називати числом змін знаків в системі Штурма (4.8) багаточлена при .

Теорема 4.4 (Штурма)

Якщо дійсні числа і , , не є коренями багаточлена , що не має кратних коренів, то і різниця дорівнює числу дійсних коренів багаточлена , що знаходяться між і .

Доведення. Розглянемо, як змінюється число при зростанні . Поки , зростаючи, не зустріне кореня жодного з багаточленів системи Штурма (4.8), знаки багаточленів цієї системи не міняються і тому число залишається без змін. Через це, а також внаслідок умови 2) з означення системи Штурма, нам залишається розглянути два випадки: перехід через корінь одного з проміжних багаточленів , , і перехід через корінь самого багаточлена .

Нехай буде коренем багаточлена , . Тоді за умовою 1), і відмінні від нуля. Отже, можна знайти таке додатне , можливо і дуже мале, що на відрізку багаточлени і не мають коренів і тому зберігають постійні знаки, причому за умовою 3) ці знаки різні. Звідси слідує, що кожна з систем чисел

(4.9)

і

(4.10)

має рівно одну зміну знаків незалежно від того, які знаки чисел і .

Наприклад, якщо багаточлен на розглянутому відрізку від’ємний, а додатній, і якщо , , то системам (4.9) і (4.10) відповідають системи знаків

– + +; – – +.

Таким чином, при переході через корінь одного з проміжних багаточленів системи Штурма зміни знаків в цій системі можуть лише переміщатися, але не виникають знову і не зникають, а тому число при такому переході не змінюється.

Нехай, з іншого боку, буде коренем самого даного багаточлена . За умовою 1) не буде коренем для . Тобто, існує таке додатне число , що відрізок не має коренів багаточлена , а тому зберігає на цьому відрізку постійний знак. Якщо цей знак додатній, то внаслідок умови 4) сам багаточлен при переході через міняє знак з мінуса на плюс, тобто , . Системам чисел

і (4.11)

відповідають системи знаків – + і + +, тобто в системі Штурма втрачається одна зміна знаків. Якщо ж знак на відрізку від’ємний, то знову, внаслідок умови 4), багаточлен міняє знак з плюса на мінус при переході через , тобто , ; системам чисел (4.11) відповідають тепер системи знаків + – і – –, тобто в системі Штурма знову втрачається одна зміна знаків.

Т аким чином, число міняється (при зростанні ) лише при переході через корінь багаточлена , причому в цьому випадку воно зменшується рівно на одиницю. Цим доведена теорема Штурма.

Якщо стоїть задача визначення загального числа дійсних коренів багаточлена на всій осі, то роблять наступним чином. Відомо, що для досить великого додатного числа (і більших за нього) знаки всіх багаточленів системи Штурма співпадають зі знаками їх старших коефіцієнтів. Умовно позначимо його . З іншого боку, існує настільки велике за абсолютною величиною від’ємне число , що знаки відповідних йому (і ще меншим ніж ) значень багаточленів системи Штурма співпадають зі знаками їх старших коефіцієнтів для багаточленів парного ступеня і протилежні знакам старших коефіцієнтів для багаточленів непарного ступеня. Умовно позначимо його . На відрізку є, очевидно, всі дійсні корені багаточлена . Застосовуючи до цього відрізка теорему Штурма знаходимо число цих коренів; застосування ж теореми Штурма до відрізків і дає, відповідно, число від’ємних і число додатних коренів багаточлена (ясно, що при знак багаточлена визначається знаком коефіцієнта при ).

Залишається показати, що для кожного багаточлена з дійсними коефіцієнтами, що не має кратних коренів, можна побудувати систему Штурма. Один з найуживаніших способів побудови такої системи наступний.

Нехай , чим забезпечується виконання умови 4) з означення системи Штурма. Дійсно, якщо - дійсний корінь , то (нагадаємо, що не має кратних коренів). Якщо , то в околі точки , а тому міняє знак з мінуса на плюс при переході через ; це ж вірно тоді і для добутку . Аналогічні міркування проходять і в випадку .

Потім ділимо на і залишок від ділення, взятий з протилежним знаком, приймаємо за :

Взагалі, якщо багаточлени і уже знайдені, то буде залишком від ділення на , взятим з протилежним знаком:

(4.12)

Викладений тут метод відрізняється від алгоритму Евкліда пошуку найбільшого спільного дільника і лише тим, що у залишку кожен раз міняється знак на протилежний і наступне ділення виконується вже на цей залишок з протилежним знаком. Оскільки при знаходженні найбільшого спільного дільника така зміна знаків неістотна, то наш процес зупиняється на деякому , що є найбільшим спільним дільником і , причому з відсутності у кратних коренів, тобто його взаємної простоти з , буде випливати, що насправді є деяким відмінним від нуля числом.

Звідси випливає, що побудована нами система багаточленів

задовольняє і умові 2) означення системи Штурма. Для доведення виконання умови 1) припустимо протилежне, тобто що сусідні багаточлени і мають спільний корінь . Тоді по , буде коренем і для багаточлена . Продовжуючи далі, ми отримаємо, що служить спільним коренем для і , що суперечить нашим припущенням.

Нарешті, виконання умови 3) випливає безпосередньо з рівності : якщо , то

До теореми Штурма можна зробити наступні зауваження:

1. Функції можна множити на додатні числа (число змін знаків при цьому не зміниться).

2. Послідовність функцій можна обірвати на такій функції, яка не перетворюється на нуль на інтервалі .

3. Як уже відмічалося, якщо має кратні корені, то як і раніше можна отримати послідовність в цьому випадку не буде постійною. Поділивши всі функції на , отримаємо нову послідовність. За допомогою цієї послідовності можна тим же способом отримати число дійсних коренів рівняння на відрізку , лише без врахування їх кратності.