- •1 Деякі відомості із функціонального аналізу
- •1.1 Метричні простори
- •1.2 Принцип стискаючих відображень
- •1.3 Лінійні нормовані простори
- •2 Умови збіжності ітераційних методів розв’язання рівнянь і систем
- •2.1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2.2 Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
- •2.2.1 Метод хорд
- •2.2.2 Метод дотичних (Ньютона)
- •3 Мінімізація оцінки похибки інтерполяції
- •3.1 Багаточлени Чебишова
- •3.2 Властивості багаточленів Чебишова
- •3.3 Вузли, які мінімізують оцінку похибки інтерполяції
- •4 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку та їх відділення
- •4.1 Межі розташування коренів алгебраїчного рівняння
- •4.2 Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння на відрізку
- •4.3 Відділення дійсних коренів алгебраїчного рівняння
- •Література
2.2.1 Метод хорд
Нехай - дійсна функція дійсної змінної , а дійсний корінь рівняння (2.24). Припустимо, що в деякому околі точки функція , тобто двічі неперервно диференційовна, а і в цьому околі не змінюють знак. Це означає, що при переході через функція змінює знак і має точку як простий корінь. Нехай – точка околу, що розглядається, в якій .
В (2.26) в якості функції візьмемо функцію
.
Тоді рівняння
, (2.27)
також має корінь .
За початкове наближення приймемо будь-яку достатньо близьку до точку околу, що розглядається, в якій має знак, протилежний знаку , а наступні наближення будуємо звичайним способом
(2.28)
Визначимо умови на і , при яких послідовність (2.28) збігається.
З одного боку, якщо взяти формальну похідну від правої частини (2.27), отримаємо (нагадаємо, що ):
З іншого боку, за формулою Тейлора12 із залишковим членом у формі Лагранжа
,
де міститься між і . Припускаючи , отримуємо
.
Звідки,
,
оскільки ще по формулі Тейлора
.
При , достатньо близькому до , - мале число, і тому існує такий окіл точки , в якому буде мати місце нерівність
.
Якщо взяте з цього околу, то на основі теореми 2.3 послідовність (2.28) буде збігатись до .
Оскільки
(на основі формули Лагранжа скінченого приросту), то припустивши , будемо мати
,
що дозволяє на кожному кроці по значенням слідкувати за досягнутою точністю.
Геометрично цей метод полягає в тому, що значення є абсцисою точки перетину прямої, що проходить через точки і ( ), з віссю .
Рисунок 2.2
Тому цей метод називають методом хорд (січних).
2.2.2 Метод дотичних (Ньютона)
Другий класичний метод розв’язання рівняння (2.24) отримуємо, якщо припустити в (2.26)
тобто звести пошук кореня рівняння (2.24) до пошуку кореня рівняння
Будемо припускати, що в деякому околі , який містить єдиний корінь рівняння (2.24), функція має неперервні похідні і (тобто ), які не перетворюються в нуль в цьому околі.
В цьому випадку
і . Це означає, що існує такий окіл точки , що якщо початкове наближення взято з цього околу, то послідовність
буде збігатися до .
Початкове наближення треба вибирати так, щоб виконувалась нерівність
Метод Ньютона застосовується не лише для пошуку дійсних коренів рівняння (2.24), але і комплексних коренів, лише треба мати на увазі, що при пошуку комплексного кореня у випадку дійсної функції початкове наближення треба брати комплексним числом, а не дійсним.
У випадку, якщо являється дійсним коренем рівняння (2.24), цей метод має просту геометричну інтерпретацію. Значення є абсцисою точки перетину дотичної і кривої в точці з віссю . Тому метод Ньютона називають методом дотичних. Як видно з рисунків послідовні наближення до дійсного кореня в методі Ньютона збігаються до нього монотонно, наближаючись зі сторони .
Швидкість збіжності методу Ньютона можна оцінити наступним чином.
По формулі Ейлера
Тоді
Звідки,
Якщо , то
що вказує на швидку збіжність методу Ньютона.
Рисунок 2.3