1. Определяемые и неопределяемые понятия

Новые понятия определяются через старые ранее введенные. Однако этот процесс должен иметь начало. Следовательно должны быть понятия исходные или первоначальные, их называют - НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫМИ.

Всякая математическая теория начинается с перечисления неопределяемых понятий.

Под ОПРЕДЕЛЯЕМЫМИ понятием понимают предложение, содержащее сущ.признаки понятия.

Если какой-то объект удовлетворяет всем признакам понятия, перечисленным в его определении, то он удовлетворяет данным понятием, если же он не удовлетворяет хотя бы одному признаку, то данным понятием он не является.

Определение не должно быть субъективным(избыточным) – то есть один признак, который в него входит, не должен следовать из другого.

Понятие=ближайший род + видовое отличие

прямоугольник=4угольник+притивопол.стр||

Вид опред: Конструктивное – оно описывает способ построения или получения объекта.

2. Аксиомы, теоремы, высказывания.

Для уточнения понятия аксиомы и теоремы используется понятие ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Под высказыванием понимают повествование предложение, о котором имеет смысл говорить – истинно или ложно, но не одновременно.

На ряду с перечислением неопределяемых понятий формируются предложения, которые считаются верными и их не доказывают, они наз. АКСИОМАМИ. (истинные предложения мат. теории, которые выбирают в качестве первоначальных)

Последующие предложения выводят из аксиом с помощью логических рассуждений по Закону Логики.

Из аксиом выводят логическим путем новые истинные высказывания, которые называют ТЕОРЕМАМИ.

Понятно, что теоремы выводят не только из аксиом, но и из ранее доказанных теорем.

3. Логические операции над высказываниями

ОТРИЦАНИЕМ высказывания p называют высказывание, истинное, когда р ложно, и ложно, когда р истинно.

КОНЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний p и q называют высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба эти высказывания.

ДИЗЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний p и q называют высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание.

ИМПЛИКАЦИЕЙ двух высказываний p и q ложное тогда и только тогда, когда p – истинно, а q – ложно.

ЭКВИВАЛЕНЦИЕЙ двух высказываний p и q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны.

6, Логическое следование. Логическая эквивалентность. Прямые, обратные и контрапозитивные утверждения. Необходимые и достаточные условия.

Если импликация ВФ P(x) ^ Q(х) – и при любых допустимых значениях х, то ее наз. ЛОГИЧЕСКИМ СЛЕДОВАНИЕМ.(обознач P(x) →Q(х))

Если эквиваленция 2 ВФ P(x) Q(х) - и при любых доп.значениях, то ее наз. ЛОГИЧЕСКОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ(обозн. P(x) ↔Q(х))

р→ q прямое предложение

q→p обратное предл.

→ противоположное предл.

→ контропозитивное предл.

Прямое и конропозитивное, а так же обратное и противоположное в силу закона контрпозиции одновременно (и) или одновременно (л), поэтому доказав прямую теорему мы автоматически получаем и контрпозитивную.(на практике бывает наоборот)

Если р→ q и, говорят, что условия р достаточно для q, а q необходимо для р(если q явл. Логическим следованием р, то р для q достаточно, а q для р необходимо).