13. Числовые характеристики дсв и нсв
Пусть дискретная СВ Х принимает значения х1, х2 … хn с вероятностями р1, р2…рn соответственно. Тогда математическим ожиданием называется число М(Х)=mx=∑xipi
Если непрерывная СВ Х имеет плотность распределения вероятности f(x), то М(Х)=mx=∫–∞+∞ xf(x)dx
Свойства мат ожидания:
1) мат ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности р наступления этого события
2) M(C)=C , если С – постоянное число
3) М(СХ)=СМ(Х), т.е. постоянный множитель можно выносить за знак мат ожидания
4) M(X+Y)=M(X)+M(Y)
5) M(XY)=M(X)M(Y), если случайные величины X и Y независимы
Дисперсией СВ Х называется мат ожидание квадрата отклонений, т.е. D(X)=M((X–mx)2)
Для непрерывной СВ Х D(X)= ∫–∞+∞(x–mx)2f(x)dx
Для дискретной СВ Х D(X)= ∑(xi–mx)2pi
Свойства дисперсии:
1) D(X)=M(X2)– mx2
2) D(C)=0 если С постоянная величина
3) D(CX)=C2D(X) если С постоянная величина
4) D(X±Y)=D(X)+D(Y)
Модой Мо дискретной величины называется ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной величины называется такое ее значение Мо, для которого f(Mо)=max f(x)
Медианой СВ Х называется такое ее значение Ме, для которого Р(X<Me)=P(X>Me)
Величина σх=√D(X) называется средним квадратичным отклонением СВ Х
14. Биномиальный закон распределения
Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р. Тогда СВ Х, означающая число появлений события А в n независимых испытаниях, может принимать значения 0,1,2,n с вероятностями Pn(X=m)= Cnm * pm * qn-m . В этом случае mx=np , D(X)=npq
15 Распределение Пуассона
Если число испытаний велико, а вероятность р появления события А мала, то используют приближенную формулу где k – число появлений события А. М(X)=D(X)=λ
16. нормальный закон распределения НСВ
Для
нормального распределения плотность
распределения вероятностей СВ Х
M(X)=a,
D(X)=
σ2
17 Показательное распределение НСВ
Плотность
распределения вероятностей СВ Х задана
функцией
M(X)=1/ λ D(X)=1/ λ2 σ(X)= 1/ λ
18 Равномерное распределение НСВ
С
= 1/(b – a)
19. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Графическое изображение статистического ряда. Эмпирическая функция распределения
Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n =100.
Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n .
Вариационный ряд - последовательность значений наблюденной величины, расположенных в порядке возрастания. Промежуток между крайними членами В. р. называют интервалом варьирования, а длину этого интервала — размахом. Крайние члены вариационного ряда
называются экстремальными значениями.
Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Анализ рядов распределения можно проводить на основе их графического изображения. Применяются полигон и гистограмма. Полигон – ломаная кривая, строится на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – частоты. Для дискретных рядов на оси откладываются сами значения признака, а для интервальных – середины интервалов. На основе гистограмм можно строить диаграммы накопленных частот с последующим построением интегральной эмпирической функции распределения.
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения:
mx- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х < х равна. mx/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х, т.е.
(F*)
Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):
1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];
2) неубывающая;
3) если хi -наименьшая варианта, то
(F*)
если x k - наибольшая варианта, то
(F*)