9. Дискретные случайные величины и способы их задания.

Случайной величиной называется величина, которая свои значения в результате испытаний принимает случайным образом. СВ делятся на дискретные СВ (принимают конечное или счетное число значений) и непрерывные СВ (принимают значение непрерывно из некоторого промежутка).

Законом распределения ДСВ Х называется перечень ее возможных значений и вероятности, с которыми эти значения принимаются в результате испытания (pi=p(x=xi)). Закон распределения ДСВ можно интерпретировать графически/ если в системе координат по оси Ох отложить возможные значения СВ, а по оси Оу вероятности этих значений, изобразить точки с координатами (xi; pi), а затем соединить их ломаной линией, то получим ПОЛИГОН.

10. Непрерывные случайные величины и способы их задания.

Случайной непрерывной величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Непрерывная случайная величина задается с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.

11. Интегральная функция распределения св и ее свойства

Пусть Х – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a;b) и х – действительное число. Под выражением X<x понимается событие «случайная величина приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события p(X<x) есть некоторая функция переменной х: F(x)=p(X<x)

Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньшее х: F(x)=p(X<x)

Свойства F(x):

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

Это свойство следует из того, что F(x) есть вероятность.

2. F(x) неубывающая функция, т.е если x1< x2 , то F(x1) ≤ F(x2)

3. Вероятность попадания СВ Х в полуинтервал [a;b) равна разности между значениями интегральной функции распределения в правом и левом концах интервала (a;b)

P(a ≤ X <b) = F (b) – F (a).

4. вероятность того, что непрерывная СВ Х примет какое-либо заранее заданное значение, равна 0 : Р(Х=х1)=0

5) если возможные значения СВ Х принадлежат интервалу (a;b) , то : 1) F(x)=0 при х≤а 2) F(x)=1 при х≥b

6) limF(x)=1 при x –>+∞ limF(x)=0 при x –>–∞

12. Дифференциальная функция распределения св и ее свойства

Дифференциальной функцией распределения непрерывной СВ Х (или плотностью ее вероятности) называется функция f(x), равная производной интегральной функции распределения f(x)=F’(x).

Вероятность попадания непрерывной СВ Х в интервал (a;b) равна определенному интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от a до b : P(a<X<b)= ∫_a^bf(x)dx

Свойства:

1. f(x) ≥0 т.к F(x) неубывающая функция, а производная такой функции всегда неотрицательная

2. F(x)= ∫_–∞^x f(t)dt

3. ∫_–∞^+∞ f(x)dx=1 т.к вероятность принять какое-либо значение является достоверным событием