1. Элементы комбинаторики

Комбинации, составленные из одной и той же совокупности n различных предметов и отличающиеся лишь порядком этих предметов, называются ПЕРЕСТРОЕНИЯМИ. P_n=n!

Комбинации по m элементов, составленные из n различных элементов и отличающиеся друг от друга либо этими элементами, либо их порядком, называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ

A_n^m=n!/(n-m)! без повторений. Ӑ_n^m=n^m с повторениями

Комбинации, содержащие по m элементов из n элементов и отличающиеся хотя бы одним элементом, называются СОЧЕТАНИЯМИ (порядок не важен) C_n^m=n!/m!(n-m)!

2. Алгебра событий

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

3. Определения вероятности события

1)Классическое определение

Совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно их них.

События А₁ А₂ А₃, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А ведет за собой наступление события В.

Классическое определение вероятности: вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е Р(А)= m/n

Свойства:

-Вероятность достоверного события равна единице (m=n)

-Вероятность невозможного события равна нулю (m=0)

-Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей (0<=P(A)<=1)

2) Статистическое определение

Пусть произведено n испытаний , при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной частотой события А, а отношение w(А)=m/n называется относительной частотой.

Статистическое определение вероятности: вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

3) Геометрическое определение

Пусть исход испытания – это попадание некоторой точки в область D, а случайное событие А – попадание точки в некоторую область D1 принадлежащую D. Вероятность события А :

P(A)=мера области D1 / мера области D . это и есть геометрическое определение вероятности.

Мера – длина, площадь, объем и т.д.

4. Теоремы о вероятности суммы несовместных и совместных событий

Пусть события А и В несовместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во: пусть n – число равновозможных исходов испытания, ma – число исходов, благоприятствующих появлению события А, mb - число исходов, благоприятствующих появлению события В. Р(А)+Р(В)= ma/n + mb/n=(ma+mb)/n

Пусть события А и В совместны, тогда вероятность того что произойдет хотя бы одно из этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–P(AB)

Док-во: пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию В и m – одновременно событиям А и В. Отсюда событию А+В благоприятствуют k+l-m элементарных событий. Тогда Р(А+В)= (k+l–m)/n=k/n +l/n – m/n= Р(А)+Р(В)–P(AB)