24. Линейное пространство. Определение, примеры. Понятие линейного подпространства. Критерий.

Линейное (векторное) пространство — естественное обобщение обычного трёхмерного евклидова пространства; в нём определены две алгебраические операции: сложение элементов (векторов) и умножение элементов на число (скаляр), подчинённые семи аксиомам.

Определение

Пусть — поле вещественных или комплексных чисел (поле скаляров). Множество называется линейным (векторным) пространством над , если для каждых двух его элементов x и y определена их сумма и для любого элемента и числа определено произведение

причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы линейного пространства

(x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

x + y = y + x (коммутативность сложения);

(λμ)x = λ(μx) (ассоциативность умножения);

(λ + μ)x = λx + μx (дистрибутивность);

λ(x + y) = λx + λy (дистрибутивность);

в существует такой элемент , что для любого (нулевой элемент);

(умножение на единицу);

Если в множестве введены операции сложения и умножения на число так, что превращено в линейное пространство, то говорят, что наделено линейной структурой. Линейное пространство над называется вещественным, а над — комплексным линейным пространством.

КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы (мог быть представлен в виде разложения по векторам системы).

25. Поверхности второго порядка.

Эллипсоид

X2\a2+y2\b2+z2\c2=1

Из уравнения сразу следует, что |x|=<a, |y|=<b, |z|=<c.

Придавая одной из переменных конкретное значение, напр y=h, получаем линии пересечения эллипсоида плоскостью y=h. Получаем эллипс

X2\a2(1-h2\b2)+z2\c2(1-h2\b2)=1 с полюсами a~=a*(1-h2\b2)1\2

B~=c*(1-h2\b2)1\2

Конус

Каноническое уравнение

X2\a2+y2\b2-z2\c2=0

При z=0 мы получаем x2\a2+y2\b2=0 => x,y=0. В этом случае точка (0,0,0) лежит на поверхности конуса и назыв его вершиной. При z=h/=0 в сечении конуса получаем эллипс x2\a2+y2\b2=h2\c2

Если точка M0(x0,y0,z0) принадлежит поверхности конуса, то для любого t точка M(tx0,ty0,tz0) принадлежит конуса. Следовательно прямая OM=t*OM0 целиком принадлежит конуса. В связи с этим конус можно рассматривать как множество всех прямых(образующих конуса) проходящих через вершину конуса и точки M эллипса называемого направляющей конуса.

Однополосный гиперболоид

X2\a2+y2\b2-z2\c2=1

При z=h, эллипс x2\a2(1+h2\c2)+y2\b2(1+h2\c2)=1

При h=0, получается так называемый горловой эллипс.

Пусть x=l

Y2\b2-z2\c2=1-l2\a2

При |l|<a или |l|>a мы имеем гиперболу.

А если l=+-a, имеем две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости x=l. Можно показать, что через любую точку гиперболоида проходят две пересекающиеся прямые целиком лежащие на нем, их называют прямолинейными образующими гиперболоида. Однополосный гиперболоид наз линейчатой поверхностью, поскольку ее можно получить вращением вдоль горлового эллипса прямолинейной образующей.

Двухполосный гиперболоид

x\2+y\2-z2\c2=-1

Записав ур в виде x2\a2+y2\b2=z2\c2-1 легко увидеть, что |z|=>c, это означает, что рассматриваемая поверхность разбивается на две симметричные относительно Oxy, части или плоскости.

При z=h>c или z=h<c сечения дают эллипсы. А плоскость x=m или y=n –гиперболы.

Эллиптический параболоид

X2\a2+y2\b2=2pz

При z=>0(p>0) или z=<0(p<0) названия поверхность объясняется тем, что сечение плоскостями z=h дают эллипсы, а плоскостями x=m или y=n –параболы. В связи с этим данная поверхность наследует фокальные свойства параболы и поэтому исп в конструкциях отражения

Гиперболический параболоид

X2\a2-y2\b2=2pz

Параболический цилиндр

Y2=2px

Эллиптический цилиндр

X2\a2+y2\b2=1

Гиперболический цилиндр

X2\a2-y2\b2=1