8. Плоскость в пространстве. Все виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0 (1)

Всякая плоскость в пространстве принадлежит классу поверхностей первого порядка.

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (уравнение плоскости проходящей через точку M0_|_n, называемому нормальным вектором плоскости.

В любой декартовой системе координат, уравнение (1) опр. Плоскость, если только

A2+B2+C2/=0

Получим уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) || двум векторам a(a1,a2,a3) и b(b1,b2,b3)

(M0M,a,b)=0

Нахождение плоскости в пространстве однозначно определяется, если известны 3 точки этой плоскости не лежащие на 1 прямой.

(M1M,M1M2,M1M3)=0

Xcosa +ycosb+zcosg-p=0(нормальное уравнение плоскости)

D=|Ax0+By0+Cz0+D|\(A2+B2+C2) 1\2 (для общего уравнения)

D=|x0cosa+y0cosb+z0cosg-p|(для нормального)

9. Уравнение эллипса, гиперболы, параболы и их основные черты.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса x2/a2+y2/b2=1

Если x=0, то y=+-b, а при y=0, x=+-a.

Точки (+-а,0) и (0,+-b) назыв. Вершинами эллипса. Точка с координатами (0,0) называется центром эллипса.

Если а=б, мы имеем окружность x2+y2=a2

С2=а2-б2 Е=с/а(эксцентриситет) 0=<E<1

F1(-c,0) и F2(c,0) назыв. Фокусами эллипса, а расстояние от фокуса до любой точки М эллипса фокальными радиусами этой точки

Эллипс есть геометрическое множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная равная ина постоянная равная 2a.

Гипербола

x2/a2-y2/b2=1

Поскольку в ур. Содержаться только квадраты х и у, то оси координат явл. осями симметрии для гиперболы.

Если у=0, то х=+-а, а точки (-а,0) и (а,0) назыв.вершинами гиперболы.

С осью Оу гиперболы на пересекается, т.к у2=-б2, при х=0.

Оси симметрии назыв главными осями симметрии, а точка (0,0) центр гиперболы. Ось Ох назыв действительной осью симметрии, а ось Оу-мнимой.

|x|=>a, а это означает, что гипербола лежит левее прямой х=-а и правее х=а. Таким образом гипербола состоит из двух изолированных ветвей.

Прямые у=+-(б/а)х явл. асимптотами гиперболы.

С2=а2+б2 и Е=с/а Е>1

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) назыв. Фокусами гиперболы. R1=|MF1| R2=|MF2| назыв.фокальными радиусами точки М.

Гипербола есть геометрическое множество точек, для каждой из кот. Абсолютная величина разности расстояний до точек F1,F2 есть величина постоянная, равная 2а.

Парабола

У2=2рх каноническое уравнение

Точки (х,у) и (х,-у) принадлежат ей.

Точка (0,0) пересечения параболы с осью Ох назыв. вершиной параболы. Если р>0(p<0), то парабола расположена превее(левее) оси Оу. Точка F(p/2,0) назыв. фокусом параболы, а расстояние MF=r фокальным радиусом точки параболы.

Парабола есть геометрическое множество точек с координатами (х,у) на плоскости равно удаленных от данной фиксированной точки F и прямой x=-p\2, назыв. директрисой параболы.

10. Линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис в r2, r2.

Пусть V-произвольное линейное векторное пространство. Будем говорить, что система вкторов u1,u2…un из пр-ва V линейно зависима, если сущ. Такие числа a1,a2…an одновременно /=, то вып. Равенство a1u1+a2u2+…+anun=0 (1).

Если же усл. (1) вып. Тогда и только тогда, когда ai=0(i=1,n), то система векторов наз. Линейно независимой.

Любая система векторов u1,u2…un включающая нулевой вектор всегда линейно-независима.

На плоскости R2 любая пара неколлинеарных векторов образует линейно независимую систему.