Вопросы к экзамену по ЛАиАГ

1.+ Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Понятие согласованной матрицы.

2.+ Определители и их свойства. Теорема Лапласа.

3.+ Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

4.+ Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

5.+ Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

6.+ Линейные системы и уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, матричным способом, методом Гаусса.

7.+ Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.

8. + Плоскость в пространстве. Все виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

9. + Уравнение эллипса, гиперболы, параболы и их основные черты.

10. + Линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис в R², R².

11. + Все виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

12. +Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и их свойства.

13. +Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода.

14.+ Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора. Полярная система координат.

15. +Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

16. + Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат.

17. + Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися, параллельными прямыми. Угол между прямыми.

18. + Линейные операторы их матрицы в заданном базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

19. + Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

20. + Применение квадратичной формы к исследованию кривых второго порядка.

21. + Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

22. + Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

23. + Линейная независимость векторов, базис, равномерностью линейного пространства.

24. + Линейное пространство. Определение, примеры. Понятие линейного подпространства. Критерий.

25. + Поверхности второго порядка.

1. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Понятие согласованной матрицы.

Опр. Прямоугольная таблица чисел, где первая строка… называется матрицей mxn числа aijeR( i=1,n; j=1,m)

Двойная индексация элементов akl вводится для удобства и указывает, что элемента akl находится в k-ой строке и l-м столбце.

Опр. Столбцы матрицы называют вектор-столбцами, а строки вектор-строками.

Обычно для краткости матрицы обозначают A,B,C или A=[aij](i=1,n;j=1,m)

Опр. Две матрицы А и B называются равными если они имеют одинаковые равные размеры и равные элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица А=0, если все элементы aij равно нулю.

Опр. Если m=n, то матрица А называется квадратной порядка n.

Квадратную матрицу А, где элементы aij=0, при i/=j называют диагональной.

Единичная матрица

Произведение числа на матрицу

Операция сложения(только для одинаковых размеров)

Разность матриц

Свойства

-А+B=B+А

-А+(B+С)=(А+B)+C

-A+O=A, O-нулевая матрица

-A+(-1)A=0

-a(bA)=(ab)A

-(a+b)A=aA+bA

-a(A+B)=aA+aB

-1*A=A

Опр. Матрица Аmxn называется согласованной с матрицей Bpxk, если число столбцом матрицы А равно числу строк матрицы B, т.е n=p.

Произведением матриц Аmxn=[aij] на матрицу Bmxk=[bij] наз матрица Cmxk=[cij], где cij=∑(s=1,n)aisbsj

2. Определители и их свойства. Теорема Лапласа.

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Определитель или детерминант является одной из важнейших характеристик матриц.

Опр. Определитель матрицы А порядка n, есть число |A| или detA, которое ставиться в соответствие матрице А.

Понятие определителя дается индуктивно в зависимости от порядка n данной матрицы А.

Опр. Если n=1, то есть матрица А состоит из одного элемента, то определитель есть само это число.

Опр. Если n=2, то есть матрица имеет вид… то |A|=a11a22-a12a21

Разложение по строке(столбцу)

Правило Саррюса

Минор

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя |A| называется число Aij=(-1)^i+j Mij

Определитель произвольного порядка n будет равен:

|A|=a11A11+a12A12+…+a1nA1n

Свойства

-определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы

-теорема Лапласса: сумма произведений элементов любой строки определителя по соотв алгебраическим дополнениями равна этому определителю

-если в матрице А одна строка или столбец нулевая, то опр. Всегда равен нулю

-пусть каждый элемент какой-нибудь строки есть сумма двух слагаемых, тогда такой определитель равен сумме двух определителей, прием в одном из них соответствующая стока состоит из первых слагаемых, а в другом из вторых

-если в матрице две строки одинаковые или пропорциональны друг другу, то определитель такой матрицы равен нулю.

-определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число

-сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраическое дополнение элементов другой строки определителя равно нулю

-определитель произведения двух матрицы равен произведению этих матриц

3. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Пусть n0 вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и вектор ОМ0, тогда его координатами явл. направляющим косинусом cosa, cosb n0(cosa,cosb). Если M – произвольная точка с коорд. М(x,y), то проекция радиус вектора OM=r в точке M на вектор n0 есть одна и таже величина для всех точек М, прямой l.

Пр.n0 OM=p (1).

C другой стороны по св-ву скалярного произведения, проекция на вектор n0 равна OM=(OM,n0) поэтому ур. (1) можно записать в след. Виде (r,n0)=p

xcosa+ycosb-p=0

Ур. Выражает условие того, что точка M(x,y) лежит на прямой l и назыв. Нормальным ур. M.

2 случая расположения точки (по одну и по разные стороны от прямой)

d=|x0cosa+y0cosb-p|