4. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть плоскость задана общим ур.Pi: Ax+By+Cz+D=0, а прямая l – каноническим x-x0/p=y-y0/q=z-z0/r

Если l || Pi, то S_|_n, т.е (s,n)=0 => Ap+Bq+Cr=0 (1)

Справедливо и обратное, если выполнимо условие (1), то l и Pi => ||, причем LePi, если Ax0+By0+Cz0+D=0.

Если вектор S не параллелен n, то прямая l пересекает Pi.

Углом фи между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных между l и l`(проекция) и 0<фи<=Pi\2

Sinфи=cos(pi\2-фи), таким образом sinфи=cos(pi\2-фи)=(n,s)\(|n|*|s|)

5. Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Расмотрим систему уравнений с n неизвестными в матрично-векторном виде Ax=b (1)

Наряду с матрицей А будем рассматривать расширенную матрицу А~

Теорема Кронкера-Капелли

Система ур. (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Следствия:

-произвольная система (1) либо не имеет решений( если ранг А<ранг А~) или

-имеет единственное решение (если ra=ra~=n, n-число неизветсных)

-имеет бесконечное множество решений (если ra=ra~<n)

Теорема позволяет предположить след. Алгоритм решений сист. (1)

-вычисляет ra и ra~, если ra не равно ra~, то система несовместна

-пусть ra=ra~, тогда выделяет базисный минор и базисные неизвестные

-данную систему заменяет эквивалентной ей системой из n ур. В кот. Вошли элементы базисного минора

-если ra=ra~=n, то система имеет единственное решение, кот. Может быть получено по формулам крамера

-ra=ra~<n. В этом случае находим выражение базисных элементов через свободные придавая свободным неиз. Произвольные значения, получаем бесконечное множество решений.

6. Линейные системы и уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера, матричным способом, методом Гаусса.

X1=∆1\|A|, x2=∆2\|A|…xn=∆n\|A| (формула Крамера)

Система наз. Совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Основная идея метода Гаусса: от данной системы уравнений перейти к другой системе уравнений эквивалентной ей, решение которой находиться несложно.

Эквивалентные системы

Процесс

Элементарные преобразования(перестановка, умножение, прибавление, вычеркивание)

7. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Пусть дана однородная система , тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если: