22. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Пусть А-квадратная матрица порядка n, если сущ матрица B порядка n,такая, что A*B=B*A=E, то матрица B называется обратной к A.

Если сущ обратная матрица, то она единственная.

Найти обратную матрицу для данной, для этого введем понятие союзной или присоединенной матрицы С, составленной из алгебраических дополнений Аij элементов aij матрицы A(I,j=1,n)

Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы опр. Этой матрицы был отличен от нуля.

Квадратная матрица А назыв невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1)находим определитель матрицы А. Если определитель матрицы А равен 0, то А-1 не сущ

2) если определитель не равен нулю, то составляют союзную матрицу С из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

3) записываем А-1=1\|A|*С

Рангом матрицы Va наз число линейно-независимых строк данной матрицы. С понятием ранга матрицы тесно связано понятие базисного минора этой матрицы.

Минор Mr порядка r матрицы А наз базисным если

-Mr/=0

-все миноры Mr+1 матрицы А равны 0.

Ранг матрицы =порядку ее базисных миноров.

Первое следствие: ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, т.е. число линейно-независимых строк равно числу линейно-независимых столбцов.

Второе: определитель квадратной матрицы равен 0, тогда и только тогда, когда строки и столбцы линейно зависисы

Если M порядка r/=0, а все остальные окаймляющие его миноры порядка r+1 равны 0, то минор M базисный и ранг матрицы равен r.

Сущ некоторые приемы облегчающие нахождение ранга матрицы. Данные приемы связаны с элементарными преобразованиями матрицы

1)перестановка строк

2)умножение,деление строк(столбцов) на число отличное от нуля

3) прибавление элементов соотв строки к дрйго умноженной на число

4) транспонирование матрицы

23. Линейная независимость векторов, базис, равномерностью линейного пространства.

Пусть V-произвольное линейное векторное пространство. Будем говорить, что система вкторов u1,u2…un из пр-ва V линейно зависима, если сущ. Такие числа a1,a2…an одновременно /=, то вып. Равенство a1u1+a2u2+…+anun=0 (1).

Если же усл. (1) вып. Тогда и только тогда, когда ai=0(i=1,n), то система векторов наз. Линейно независимой.

Любая система векторов u1,u2…un включающая нулевой вектор всегда линейно-независима.

Любые два коллинеарных вектора в обычном геометрическом пространстве линейно-зависимы.

Любая четверка векторов в пространстве R3 линейно зависима.

Система векторов u1,u2…un линейного пространства линейно-зависима тогда и только тогда, когда один из векторов явл линейно комбинацией остальных.

Каждая система векторов содержащая линейно-независимую системы явл линейно-зависимой системой

Будем говорить, что система векторов u1,u2,…un образует базис некоторого ЛВП V, если

-эта система векторов линейно-независима

-любой вектор aeV есть линейная комбинация этой системы векторов, т.е a=a1u1+a2u2+…+anun.

Число n элементов базиса пространства V назыв. размерностью пространства и обозначается dim V, а числа a1,a2…an(альфа) назыв координатами a в базисе u1,u2…un.