15. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Собственные значения оператора ф(матрицы а) явл корнями характ. Многочлена. Всякому корню у=у0 соотв собственный вектор координаты кот явл решениями однородной системы (А-у0Е)х=0

Собственные векторы линейного оператора линейно независимы. Если линейный оператор f:Vn->Vn имеет н различных собственных значений, то сущ базис Vn составленный из собственных векторов оператора f.

Любой линейный оператор f в н-мерном пространстве может иметт не более чем н различных собственных значений. Все собственные векторы отвечающие собственному значению у образуют подпространство данного линейного пространства.

Для того, чтобы матрица линейного оператора f была диагональной в некот базисе необходимо и достаточно, чтобы этот базис состояли из собственных значений матрицы А.

16. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат.

Задан отрезок АБ, А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2). Требуется найти координаты точки С такой, что |AC|/|CB|=y, где y принадлежит R.

Из формулы следует, что AC=y*CB. Перейдем от векторной формы записи к координатной, принимая во внимание, что x,y,z –координаты точки C. Тогда AC=(x-x1,y-y1,z-z1)

CB=(x2-x,y2-y,z2-z) следовательно (x-x1,y-y1,z-z1)=(y(x2-x),y(y1-y),y(z1-z))

Приравнивая соотв координаты мы получаем

x-x1=y(x2-x)

y-y1=y(y2-y)

z-z1=y(z2-z)

x=x1+yx2\1+y (3)

y=y1+y*y2\1+y (4)

z=z1+yz2\1+y (5)

y/=-1

Пустьу=1, тогда из формул 3-5 следует, что x=x1+x2/2, y=y1+y2/2, z=z1+z2/2

Данные формулы верны в любой системе координат.

Формулы 3-5 дают решение задач и для y<0,y/=-1. Разница заключается в том, что точка С лежит вне отрезка АБ, но на прямой проходящей через точки А и Б. В данном случае говорят, что точка С делит AB внешним образом.

Пусть О – фиксированная точка простанства, е1,е2,е3 базис R3. Система О,е1,е2,е3 назыв. декартовой системой координат.

Чаще всего рассматривается прямоугольная декартовая система координат, т.е когда е1, е2,е3 взаимоортогональные векторы единичной длины. Для системы приняты обозначения I,j,k.Оси проходят через начало координат по направлению базисных векторов назыв осями координат.

Плоскости проходящие через оси координат назыв координатными плоскостями.

17. Взаимное расположение прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися, параллельными прямыми. Угол между прямыми.

Пусть две прямые l1 и l2 заданы параметрическими уравнениями

L1: x=x0+p1t L2: x=x1+p2t

Y=y0+q1t y=y1+q2t

Z=z0+r1t z=z1+r2t

Прямые l1 и l2 параллельны если коллинеарны их направляющие векторы S(p1,q1,r2) S2(p2,q2,r2)

P1\p2=q1\q2=r1\r2 (17)

(S1,S2,M1M2)=0 (18)

Если условие 17 не выполняется и 18 равно нулю, то прямые l1 и l2 пересекаются.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми l1 и l2 достаточно вспомнить, что модуль смешанного произведения трех векторов, дает объем параллелепипеда, построенного на трех векторах. Модуль векторного произведения S1 и S2 равен площади грани параллелепипеда(параллелограмма). Тогда расстояние будет h=|(S1,S2,M1M2)|/|[S1,S2]|