18. Линейные операторы их матрицы в заданном базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Отображение одного линейного векторного пространства в другое принято называть оператором. Поскольку главными определяющими линейное векторное пространство факторами явл операции сложения элементов и умножение на число определенные в ЛВП, то естественно, рассматривать отображения, сохраняющие эти операции. Такие операции наз линейными.

Пусть V и W два линейных векторных пространства. V->W ставящим в соответствие каждому xeV опр элемент y=f(x)eW наз линейным оператором, если при этом вып два условия

-для любого x1,x2eV

F(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

-для любого xeV и для любого аeR -> f(ax)=af(x).

При этом y принято наз образом вектора x относительно оператора f, а х-прообразом у относительно f.

Если V=W, то f называют линейным оператором пространства V.

Предположим, что известны разложения любого вектора f(ei)eWm по базису u1,u2…um, т.е

F(e1)=a11u1+a21u2+…+am1um

F(e2)=a12u1+a22u2+…+am2um

…

F(en)=a1nu1+a2nu2+…+amnum

Тогда матрица А вида [a11 a12 … a1n] столбцами кот явл координаты вектора f(ei) наз.Матрицей линейного оператора f в выбранном базисе.

Установим связь между матрицами и того же линейного оператора f:Vn-Vn е1,e2…en (1) и u1,u2…un (2) – базисы, кот мы назовем старым и новым базисами. Пусть Т матрица перехода от старого базиса к новому(т.е u1 выражается через e1)

T=[t11 t12 …t1n]

Если x=(x1 x2 …xn) –старый базис, а y=(y1 y2 … yn)-новый базис X=T*Y или Y=T-1*X.

Пусть (1) и (2) два базиса пространства Vn, T-матрица перехода от старого базиса к новому, если А-матрица линейного оператора f в базисе (1), то матрицей B, этого оператора в новом базисе (2) явл. матрица B=T-1AT

19. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

Квадратичной формой от n переменных x1,x2…xn наз однородный многочлен второй степени Q(x1,x2…xn)=∑(i=1,n)∑(j=1,n)aijxixj (1)

Матрица с элементами А=[aij], i,j=1,n наз матрицей квадратичной формы. В силу того, что aij=aji матрица всегда симметрическая.

Квадратичная форма 1 наз положительно определенной, если для любых значений входящих в его переменных, среди кот хотя бы одно отлично от нуля, то q(x1,x2…xn)>0, отрицательно опр, если q(x1,x2,…xn)<0, для любого набора переменных среди кот. хотя бы одно отлично от нуля. Положительно оп и отр опр квадратичные формы наз знакоопределенными.

Квадратная матрица А наз ортогональной, если АТ*А=Е, А-1=АТ

20. Применение квадратичной формы к исследованию кривых второго порядка.

Квадратичная форма назыв канонической, если матрица диагональна aij=0, i/=j.

q(x)=a11x1^2+a22x2^2+…+annxn^2=∑(i=1,n)aixi^2

Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в диагонализации матрицы канонической формы и записи квадратичной формы.

21. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

П1:A1x+B1y+C1z+D1=0

П2:A2x+B2y+C2z+D2=0

Если нормальные векторы данных плоскостей коллинеарны и к тому же А1\A2=B1\B2=C1\C2=D1\D2 значит плоскости совпадают

Если же нормальные векторы плоскостей коллиенарны А1\А1=B1\B2=C1\C2\=D1\D2 то плоскости параллельны

И если нормальные векторы неколлинеарны, то плоскости пересекаются.

Прямая l в пространстве полностью опеределяется, если задана M0(x0,y0,z0)el и вектор S(p,q,r) || l и называемый направляющим вектором этой прямой. Выведем уравнение этой прямой.

Пусть r0=OM0, r=OM

M0M=r-r0

Поскольку векторы M0M и S – коллинеарны, то M0M=t*S,teR => r=r0+t*S (11)

Ур 11 называется векторно-параметрическим уравнением прямой l.

Запишем данное уравнение в координатной форме (x y z)=(x0 y0 z0)+t(p q r) =>

X=x0+tp

Y=y0+tq (12)

Z=z0+tr

Ур 12 наз параметрическим ур. Прямой. Исключая из ур 12 параметр t мы получим каноническое уравнение прямой x-x0\p=y-y0\q=z-z0\r

Чтобы записать уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки M1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2) нужно в качестве направляющего вектора S взять S=M1M2(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

Тогда искомое уравнение запишется в след виде

x-x1\x2-x1=y-y1\y2-y1=z-z1\z2-z1