26.Приближенные метоыд решения дифференциальных уровнений

Рассмотрим задачу Коши (5.2), (5.6) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀. Пусть y(x)- решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.2), получим тождество y'(x) ≡ f(x,y(x)). Интегрируя это тождество по x, получаем

,

или, что тоже самое,

. (5.15)

Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.2), (5.6) есть решение интегрального уравнения (5.15). С другой стороны, если y(x)- решение интегрального уравнения (5.15), то дифференцируя (5.15) по x, получаем, что y(x)- решение задачи Коши (5.2), (5.6).

Решение интегрального уравнения (5.15) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим

y₀(x)=y₀,  . (5.16)

Если оператор

- (5.17)

сжимающий [12], то последовательные приближения (5.16) сходятся к решению интегрального уравнения (5.15), а, следовательно и дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀. Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.17) в [12].

Пример. Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения y' = y, удовлетворяющее условию y(0)=1. Подставляя y(0)=1 в (5.16), получаем

y₀=1,    …,

С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем y = e^x.

Таким образом, нами получено разложение функции e^x в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).

Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.2), (5.6). Разобьём отрезок [a,b], на котором мы ищем решение, на части точками x₀ = a<x₁<…<x_n = b. Положим y_i=y(x_i), h_i = x_i+1 - x_i, 0≤i≤n. Так как по определению производной   то заменяя производную y'(x_i) конечной разностью     в уравнении (5.2), получаем  , или, что то же самое,

y_i+1 = y_i + h·f(x_i, y_i), (5.17)

Соотношение (5.17) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.2), (5.6). Вычислив y_i , i = 0,1,..,n получим таблицу значений решения в точках x_i , i = 0,1,..,n Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора в окрестности точки xi до членов второго порядка малости

y(x_i+1)=y(x_i+h)=y(x_i)+y'(x_i)h+o(h²)=y_i+hf(x_i,y_i)+o(h²).

Сравнивая с (5.17) видим, что погрешность формулы (5.17) равна o(h²). К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например методом прогноза и коррекции [14], либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта [14].

27.Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t0. Решение x = φ(t) системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при  t ≥ t0 , если :

— решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0 ;

— существует такое число Δ > 0, что любое решение x = φ(t), удовлетворяющее условию | x(t0) − φ(t0) | < Δ с ростом t стремится к нулю: | x(t0) − φ(t0) | → 0 при   t → ∞. .

 Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t0 к интегральной кривой x = φ(t), приближаются к ней с ростом t.

 Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие асимптотически устойчивым решениям, тоже называются асимптотически устойчивыми.

 На рисунке чёрным изображена асимптотически устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.3, 0), и две, начинающиеся вблизи неё, траектории.