57.Степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:

При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:

1)  , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

Ряды Маклорена являются частным случаем рядов Тейлора.

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f(z) аналитична в области D, z0∈ D. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,  . Представим множитель   в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:  (так как | z – z0| < | t – z0| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:    , так как  . Итак,  .          Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f(z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы областиD. Доказана          Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f(z) аналитична в области D, z0 ∈ D, то функция f(z)может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z0)n. Этот ряд абсолютно сходится к f(z) внутри круга | z – z0| < r, где r - расстояние от z0 до границы области D (до ближайшей к z0 точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.  Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции. 

59.Классификация изолированных особых точек однозначной функции

точка а Сz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке ане определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z=  и функция 

имеет в точке  =0 изолированную особую точку однозначного характера.

В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если

не существует.

Заметим, что типы особых точек z=  функции f (z) и =0 функции совпадают, ибо

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия

f (a)=f  (a)=…=f (m-1)(a)=0,

f (m)(a)  0.

При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).

Замечание.

Вообще, если

, где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).

Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).

Точка z=  называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция 

имеет нуль кратности т в точке  =0.

Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,

.

Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.

2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т 1, если главная часть имеет вид

, где ст 0.

3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид 

Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.

Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z= .

60.Вычеты и их приложения

Вычетом функции   в изолированной точке   называется интеграл

(66)

где   - замкнутый контур, содержащий одну особую точку  . Эквивалентное определение вычета можно получить, сравнивая (66) с выражением для коэффициентов ряда Лорана (61), тогда вычетом функции   называется значение коэффициента   ряда Лорана в окрестности точки  :

(67)

Из определений вычета следует, что если   - правильная точка функции  , то  . Если точка   является полюсом, то удобно рассмотреть отдельные случаи:

     -полюс первого порядка:

(68)

так как в случае полюса первого порядка функция может быть представлена в виде  , причем   - ноль первого порядка функции  , то

(69)

    -полюс порядка  :

(70)

    Вычетом функции   в точке   называется интеграл

(71)

причем во внешней части контура   функция   не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от  . Эквивалентно, с помощью коэффициентов ряда Лорана в окрестности бесконечности,  .

(72)

На основе этих определений можно показать, что имеет место следующая теорема:если функция   является аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек (включая бесконечную)  , тогда

(73)