66.Свойства преобразований по Лапласу

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2. f (t)=0 для всех отрицательных t;

3.  f (t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и 0, что |f(t)|<Me0t для всех t.

Изображением функции  f (t) (по Лапласу) называется функция F(p) комплексного переменного p= +i , определяемая равенством

.

Тот факт, что F(p) есть изображение  f (t), будем символически записывать так:

.

Для любой функции-оригинала  f (t) изображение определено в полуплоскости Rep>0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Из определения изображения следуют его простейшие свойства:

1. Линейность. Для любых комплексных постоянных a и b

(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).

2.Теорема подобия. Для любого постоянного a >0

.

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f(t) , f (t),…, f (n)(t) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), то

,

,

,

где под f (k)(0), (k= 1, 2,…, n-1) понимается  .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (-t) оригинала

или вообще

.

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если f(t)=F(p), то

.

6. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции

.

7.Теорема смещения. Если f(t)=F(p), то для любого комплексного р0

.

8.Теорема запаздывания. Если f(t)=F(p), то для любого t >0

.

Важной для приложений является следующая:

Теорема единственности

Если две функции (t) и (t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

67.Теорема о свертке

 Определение. Сверткой функций f1(t) и f2(t) называется функция  .          Свёртка обозначается символом f1 * f2:  . Если f1(t) и f2(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f1(t) и f2(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть  ,  ,  , тогда    , так как t < e t.          Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле   переменную τ на τ1 = t −τ.          Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что ( f1 * f2 ) * f3 = f1 * ( f2 * f3 ). 

68.Нахождение оригинала по изображению

Для решения задачи о нахождении оригинала f (t) по известному изображению F(p) применяются следующие приемы, используемые при выполнении задания 31:

Применение теоремы умножения.

Пример 1.  .

Решение. Пусть

,

где  , а  .

По таблице определяем оригиналы функций F(р) и Ф(р):

,

.

Искомый оригинал  определяем как свертку оригиналов f (t) и (t)

.

2. Применение формулы Дюамеля. Если функция-оригинал f (t) непрерывна на [0,+  ), а функция-оригинал (t) непрерывно дифференцируема на [0,  ) и

,  ,

то

.

Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала

.

Это – так называемая формула Дюамеля.

Пример 2.  .

Решение. Обозначим искомый оригинал через  , т. е.

.

Пусть  , а  .

Тогда  , а  .

Находим  ,  и по формуле Дюамеля имеем

Если 

есть правильная рациональная дробь, то разлагают эту дробь на сумму простых дробей и находят оригинал для каждой простой дроби, используя свойства преобразования Лапласа.

Пример 3.  .

Решение. Разлагаем F(p) в сумму простых дробей:

.

Находя коэффициенты А, В, С, D, получаем

.

С помощью таблицы определяем

.

Ответ:  .

4. Применение второй теоремы разложения. Вторая теорема разложения утверждает, что при определенных условиях на F(p) оригиналом для F(p) служит функция

,

где сумма вычетов берется по всем особым точкам рk функции F(p).

В частности, если

правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит функция

, (1)

где рk – полюсы F(p) кратности nk и сумма берется по всем полюсам F(p).

Пример 4.  .

Решение. Функция F(p) имеет полюс p1=1 и p2=-1каждый второго порядка. В формуле (1) n1=2, n2=2, l=2, k=1, 2.

По формуле (1) имеем

Если все полюсы функции F(p) простые, то формула из п.4 упрощается и принимает вид

.

Пример 5. .

Решение. Имеем случай, когда все полюса F(p) простые:

.

Тогда

,

,

,

Еслu

,

то

. Пример 6.  .

Решение. Поскольку

,

то  .

Имеем

.