49. Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на 

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

 

, где  ,

.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

 

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что  , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

 (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

 (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

 

, (5)

где

.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

 

 

 

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,..., k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор 

при этом,  .

50. Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье трансформирует последовательность комплексных (либо вещественных) чисел xn  в последовательность комплексных чисел Xn . Прямое и обратное преобразования Фурье определяются, как:

Приведенные выше формулы имеют сложность O(N 2), однако широко известен способ снизить сложность дискретного преобразования Фурье доO(N·log(N)). Быстрое преобразование Фурье широко используется как само по себе, так и для ускорения вычисления других преобразований - быстрого вычисления свертки и кросс-корреляции.

51. Функции комплексного переменного

19.2.1. Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.          Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W = {w| w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w =f(z) (или определено отображение f : z → w). Область D называется областью определения функции, множество {w| w ∈ W, w = f(z), z ∈ D} - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.          Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называетсямногозначной.          Функция w = f(z) называется oднолистной в области D ⊂ C, если она взаимно однозначно отображает область D на область G ⊂ W (т.е. каждая точка z ∈ D имеет единственный образ w ∈ G, и обратно, каждая точка w ∈ G имеет единственный прообраз z ∈ D.          19.2.2. Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как w = u + iv, z = x + iy, то зависимость w = f(z) можно записать в виде w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Таким образом, задание комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u= u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.          Примеры: 1. w = z 3. Выражаем z 3 через х,у: z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =            2. w = e z. Здесь            Дальше многие свойства ФКП (функций комплексной переменной) мы будем формулировать в терминах её действительной части u(x, y) и мнимой части v(x, y), поэтому техника выделения этих частей должна быть хорошо отработана.