55.Интеграл по комплексному переменному

Пусть   - непрерывная функция комплексного  , определенная в области   и   - гладкая кривая, лежащая в  , с началом в точке   и концом в точке   (рис. 137), заданная уравнением

 

или, что все равно, двумя уравнениями

        .                (1)

Рис. 137

Как всегда, направление на   соответствует изменению параметра   от   до    .

Интеграл от функции   вдоль кривой   определяется следующим образом:

.

Если учесть, что   и  , то равенство (2) можно коротко записать так:

.             (3)

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции   (в этом случае функции   и   также непрерывны) и любой гладкой кривой   (т. е. когда  ,  ) непрерывны и  ).

Если кривая   кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков  , то по определению считаем

.                   (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где   та же кривая, что и  , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где   - постоянные числа.

3)

Если   при  , то

,

где   - длина  .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.

56.Теорема Коши. Интеграл Коши

Результат, полученный в примере 3-5, является частным случаем теоремы Коши и, если   является аналитической (или только дифференцируемой) функцией в области   комплексной плоскости, то интеграл по любой замкнутой кривой   от  равен нулю:

(48)

    Теорема Коши имеет несколько важных следствий:

	интеграл от   не зависит от пути интегрирования, а определяется только значениями начальной и конечной точек (см. пример 3-5 для аналитической функции  );   если   - объединенная граница многосвязной области (рис.17), то имеет место формула
		(49)
Рис.17

где все участки границы обходятся в положительном направлении, т. е. когда захватываемая область остается слева при движении вдоль каждой кривой  ;   значение интеграла   от функции   по некоторой кривой, соединяющей точки   и  , т. е.:

(50)

будет аналитической функцией переменной  , причем  . Функция   (50) называется первообразной, и для нее имеет место комплексный аналог формулы Ньютона-Лейбница:

(51)

58.Ряд Лорана

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца  ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:  . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:  (так как | z – z0| < | t – z0| , то  )  , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где  . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0| :    . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:    ,г де  . Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR:   поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим  . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области  ;  , поэтому для любого n  , и           .          Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени ( ), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени ( ), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.          Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим