40. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
В
соответствии с теремой Абеля отметим:
при условии, что
является
точкой сходимости ряда (30.2) ряд предполагает
сходимость абсолютно во всех точках
интервала
Если
есть
точка расходимости (30.2), то во всех точках
интервалов
ряд
расходится. Тогда заключим: имеется
такое число
,
что на
ряд
(30.2) сходится абсолютно, а на
расходится.
В этом случае справедлива нижеобозначенная
теорема.
Т: Область сходимости ряда (30.2) — это интервал предполагается расходимость ряда.
Интервал
определен
в качестве его радиуса сходимости.
Существуют некоторые ряды, для которых
интервал сходимости вырождается в
точку
,
при этом, имеются и такие ряды, для
которых интервал охватывает всю ось
.
Если
,
то ряд может расходиться и сходиться.
Это зависит от конкретного ряда.
Запишем
способ нахождения радиуса сходимости
ряда (30.2). Исследуем ряд, составленный
их абсолютных величин его членов
и
используем по отношению к нему признак
Даламбера:
При
условии, что
(иначе
выражаясь,
)
ряд из абсолютных величин членов (30.2)
сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно.
Запишем
(30.4)
Если
,
то ряд (30.2) расходится, поскольку общий
член ряда
не
стремится к
Получается,
что формула (30.4) обеспечивает радиус
сходимости.
Пример: Определить радиус и интервал сходимости ряда
интервал
абсолютной сходимости
На
концах интеграла: если
,
то
представляет
собой гармонический расходящийся ряд,
в случае же когда
—
это знакочередующийся ряд, который
предполагает условную сходимость.
Промежуток
есть
область сходимости обозначенного ряда.
Ряд
(30.1) можно свести к ряду (30.2) посредством
осуществления замены переменной
Если
ряд
,
то ряд (30.1) сходится абсолютно для
,
иначе выражаясь, сходимость имеется на
интервале
41. Действие над степенными рядами (свойства степенных рядов)
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
с0 + с1 х + с2 х2 + ... + сn xn + ... , (10.1)
имеющий
радиус сходимости R>0 (R может равняться 
).
Тогда каждому значению х из интервала
сходимости соответствует некоторая
сумма ряда. Следовательно, сумма
степенного ряда есть функция от х на
интервале сходимости. Обозначим ее
через S(x). Тогда можно записать равенство
S(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + ... , (10.2)
понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
Теорема 1.
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ... , S(n)(x).
Теорема 2.
Степенной
ряд можно неограниченное число раз
почленно интегрировать в пределах от
0 до х, если х 
(-R;
R), причем получающиеся при этом степенные
ряды имеют тот же радиус сходимости,
что и исходный ряд, а суммы их соответственно
равны 
.