- •1.Звичайні др (основні поняття; задачі, що зводяться до др)
- •2. Др першого порядку. Теорема Коші
- •3. Деякі типи др: др 1 порядку з відкремленими і відокремлюваними зміними, однорідні др 1 пор, лінійні др 1 пор,рівняння Бернуллі
- •4.Др вищих порядків: загальний вигляд, існування розвязка задачі Коші, однорідні і неоднорідні лдр n-гопорядку
- •7) Лiнiйнозалежнi і лiнiйнонезалежнi системи функцiй. Визначник Вронського. Визначник Вронського для лiнiйно залежної системи функцiй.
- •8) Визначник Вронського: теореми, приклади.
- •9) Фcр олдр n-го порядку. Теорема про структyру загального розв'язку олдр. Формула Остроградського -Лiувiлля.
- •10) Теорема про структyру загального розв'язку нлдр n-го порядку. Принцип суперпозиції.
- •11) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок рiзних кopeнiв характеристичного рівняння).
- •12) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок кратних коренiв характеристичного piвняння).
- •13. Метод Ейлера розв’язку олдр n-го порядку з постійними коефіцієнтами (випадок комплексних коренів характеристичного рівняння).
- •14. Метод невизначених коефіцієнтів пошуку часткових розв’язків нлдр зі стандартною f(X):
- •15. Метод варіацій (Лагранжа) знаходження частинних розв’язків нлдр.
- •16. Числова послідовність та числові ряди: основні поняття (частинна сума, сума, приклади, геометричний ряд).
- •17. Необхідні умови збіжності числового ряду (наслідок).
- •18. Збіжність числового ряду та його залишку. Наслідок.
- •19. Критерій Коші. Гармонічний ряд.
- •20. Властивості збіжних чр(додавання, віднімання, множення на число). Збіжність чр та його залишку.
- •21. Ознака порівняння збіжності числових рядів. Наслідок.
- •22. Інтегральна ознака Коші. Узагальнений гармонічний ряд. Приклади.
- •23. Ознака Деламбера. Наслідок.
- •24. Радикальна ознака Коші.
- •25. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Наслідок.
- •26.Абсолютно збіжні чр та їх властивості.
- •27.Умовно збіжні чр та їх властивості. Теорема Рімана. Приклади.
- •28.Функціональні послідовності та ряди. Основні поняття (область збіжності ,часткова сума , сума , приклад)
- •29.Рівномірно збіжні функціональні послідовності та ряди.
- •30.Теорема про неперервність суми рівномірно збіжного функціонального ряду.
- •31. Інтегрування функціонального ряду.
- •32. Диференційонування рівномірно збіжного ряду. Приклад.
- •33. Степеневі ряди. Теорема Абеля.
- •34. Поняття функції комплексної змінної. Стереографічна проекція. Границя та неперервність в точці функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної.
- •4.5. Логарифмічнафункція
17. Необхідні умови збіжності числового ряду (наслідок).
Якщо числовий ряд nзбіжний, то його загальний член ( n= 0) прямує до нуля.
Доведення. Позначимо через Sсуму ряду.
S = n Sn = U1 + … + Un Sn-1 = U1 + … + Un-1 n-1 = S
n - n-1 = S – S
n - Sn-1) = 0 n= 0, що і треба довести.
Наслідок: Якщо n 0 , то ряд розбіжний.
18. Збіжність числового ряду та його залишку. Наслідок.
Те ж саме + Числовий ряд, одержаний із даного відкиданням його перших n членів, називається n-им залишком числового ряду.
U1 + U2 + … + Uр - р-ий залишок ЧР, р
Зі збіжності ЧР випливає і збіжність будь-якого його залишку.
Із розбіжності будь-якого залишку ЧР випливає і розбіжність самого ряду.
19. Критерій Коші. Гармонічний ряд.
Критерій Коші збіжності числового ряду.
Для того, щоб числовий ряд був збіжним необхідно і досить щоб
Доведення слідує з критерію Больцано-Коші збіжності числової послідовності, яку застосуємо до { } даного ряду. Для збіжності { } за критерієм Коші необхідно і досить
Гармонический ряд - числовой ряд
Каждый член такого ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних - этим объясняется название. Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится.
Обобщённый гармонический ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
20. Властивості збіжних чр(додавання, віднімання, множення на число). Збіжність чр та його залишку.
Властивості збіжних числових рядів:
Якщо збіжний, то const: також збіжний і його сума
, збіжні, їх суми S і , то то
Якщо збігається, то збігається будь який його залишок і навпаки.
r-й залишок числового ряду:
З теореми слідує, що збіжність ч.р. не порушиться, якщо відкинути скінченне число перших членів.
21. Ознака порівняння збіжності числових рядів. Наслідок.
Якщо для членів додатних числових рядів , виконується нерівність , , то:
із збіжності числового ряду слідує збіжність числового ряду .
із розбіжності числового ряду слідує розбіжність числового ряду .
Доведення: збіжність означає обмеженість послідовності його частинних сум { }, . За умовою теореми частинні суми числового ряду задовольняють умову , – монотонно зростає, обмежена зверху, за теоремою Веєрштраса
Наслідок – гранична теорема порівняння. Якщо для додатних числових рядів , , ; , то для :
при , то із збіжності слідує збіжність .
при , то із розбіжності слідує розбіжність .
при , то 2 ряди ведуть себе однаково.
22. Інтегральна ознака Коші. Узагальнений гармонічний ряд. Приклади.
Якщо f(x) визначена і неперервна при , невід’ємна, де і монотонно спадна, то ч.р. такий що , і збігається то і ряд збігається, якщо інтеграл розбіжний – то розбіжний і ряд.
Обобщённый гармонический ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Приклад:
При – ряд збіжний, розбіжний.
23. Ознака Деламбера. Наслідок.
Якщо для додатного ряду , , то ряді збіжний. При числовий ряд розбіжний.
Доведення: базується на порівнянні з геометричним числовим рядом
, при q<1 цей ряд збіжний як геометричний ряд, звідси слідує збіжність ряду за ознакою порівняння.
Наслідок: якщо для додатного числового ряду існує , то при q<1 – числовий ряд збіжний, при q>1 ряд розбіжний, при q=1 ряд збіжний чи розбіжний.