- •1.Звичайні др (основні поняття; задачі, що зводяться до др)
- •2. Др першого порядку. Теорема Коші
- •3. Деякі типи др: др 1 порядку з відкремленими і відокремлюваними зміними, однорідні др 1 пор, лінійні др 1 пор,рівняння Бернуллі
- •4.Др вищих порядків: загальний вигляд, існування розвязка задачі Коші, однорідні і неоднорідні лдр n-гопорядку
- •7) Лiнiйнозалежнi і лiнiйнонезалежнi системи функцiй. Визначник Вронського. Визначник Вронського для лiнiйно залежної системи функцiй.
- •8) Визначник Вронського: теореми, приклади.
- •9) Фcр олдр n-го порядку. Теорема про структyру загального розв'язку олдр. Формула Остроградського -Лiувiлля.
- •10) Теорема про структyру загального розв'язку нлдр n-го порядку. Принцип суперпозиції.
- •11) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок рiзних кopeнiв характеристичного рівняння).
- •12) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок кратних коренiв характеристичного piвняння).
- •13. Метод Ейлера розв’язку олдр n-го порядку з постійними коефіцієнтами (випадок комплексних коренів характеристичного рівняння).
- •14. Метод невизначених коефіцієнтів пошуку часткових розв’язків нлдр зі стандартною f(X):
- •15. Метод варіацій (Лагранжа) знаходження частинних розв’язків нлдр.
- •16. Числова послідовність та числові ряди: основні поняття (частинна сума, сума, приклади, геометричний ряд).
- •17. Необхідні умови збіжності числового ряду (наслідок).
- •18. Збіжність числового ряду та його залишку. Наслідок.
- •19. Критерій Коші. Гармонічний ряд.
- •20. Властивості збіжних чр(додавання, віднімання, множення на число). Збіжність чр та його залишку.
- •21. Ознака порівняння збіжності числових рядів. Наслідок.
- •22. Інтегральна ознака Коші. Узагальнений гармонічний ряд. Приклади.
- •23. Ознака Деламбера. Наслідок.
- •24. Радикальна ознака Коші.
- •25. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Наслідок.
- •26.Абсолютно збіжні чр та їх властивості.
- •27.Умовно збіжні чр та їх властивості. Теорема Рімана. Приклади.
- •28.Функціональні послідовності та ряди. Основні поняття (область збіжності ,часткова сума , сума , приклад)
- •29.Рівномірно збіжні функціональні послідовності та ряди.
- •30.Теорема про неперервність суми рівномірно збіжного функціонального ряду.
- •31. Інтегрування функціонального ряду.
- •32. Диференційонування рівномірно збіжного ряду. Приклад.
- •33. Степеневі ряди. Теорема Абеля.
- •34. Поняття функції комплексної змінної. Стереографічна проекція. Границя та неперервність в точці функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної.
- •4.5. Логарифмічнафункція
11) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок рiзних кopeнiв характеристичного рівняння).
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + а1y '+ a0y = 0.
Коефіцієнти an-1, ... , а1, a0 - постійні дійсні числа. Спробуємо знайти рішення рівняння у вигляді y (x) = exp (λx). Підставимо функцію y(x) = exp(λx) в рівняння: y (x) = exp (λx), y '(x) = λexp (λx), y''(x) = λ2exp (λx ),... , yn (x) = λnexp (λx), λnexp (λx) + an-1λn-1exp (λx) + ... + а1λexp (λx) + a0exp (λx) = 0, exp (λx) (λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0. Оскільки exp (λx) ≠ 0, функція y(x) = exp (λx) буде рішенням лінійного однорідного рівняння тоді і тільки тоді, коли λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0. Рівняння λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0 називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Многочлен n-го ступеня Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0називається характеристичним многочленом рівняння.
Справедливе наступне твердження (теорема Ейлера). Для того щоб функція y (x) = exp (λ0x) була рішенням рівняння y(n) + an-1y(n - 1) + ... + а1y '+ a0y = 0, необхідно і достатньо, щоб число λ0 було коренем характеристичного рівняння λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0. З теореми Ейлера слід наступне твердження. Якщо числа λ1 ≠ λ2 ≠ ... ≠ λn - різні дійсні корені характеристичного рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, то функціїexp (λ1x), exp (λ2x), ..., exp (λnx) утворюють фундаментальну систему рішень цього рівняння та спільне вирішення рівняння має вигляд: y (x) = C1exp (λ1x) + C2exp (λ2x) + ... + Cnexp (λnx).
Якщо числа λ1 ≠ λ2 ≠ ... ≠ λn - різні дійсні корені характеристичного рівняння, то функції exp (λ1x), exp (λ2x), ..., exp (λnx)утворюють фундаментальну систему розв'язків рівняння.
12) Метод Ейлера розв'язку олдр n-го порядку з постiйними коефiцiєнтами (випадок кратних коренiв характеристичного piвняння).
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + а1y '+ a0y = 0.
Коефіцієнти an-1, ... , а1, a0 - постійні дійсні числа. Спробуємо знайти рішення рівняння у вигляді y (x) = exp (λx). Підставимо функцію y(x) = exp(λx) в рівняння: y (x) = exp (λx), y '(x) = λexp (λx), y''(x) = λ2exp (λx ),... , yn (x) = λnexp (λx), λnexp (λx) + an-1λn-1exp (λx) + ... + а1λexp (λx) + a0exp (λx) = 0, exp (λx) (λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0. Оскільки exp (λx) ≠ 0, функція y(x) = exp (λx) буде рішенням лінійного однорідного рівняння тоді і тільки тоді, коли λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0. Рівняння λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0 називається характеристичним рівнянням лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Многочлен n-го ступеня Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0називається характеристичним многочленом рівняння.
Справедливе наступне твердження (теорема Ейлера). Для того щоб функція y (x) = exp (λ0x) була рішенням рівняння y(n) + an-1y(n - 1) + ... + а1y '+ a0y = 0, необхідно і достатньо, щоб число λ0 було коренем характеристичного рівняння λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0= 0. З теореми Ейлера слід наступне твердження. Якщо числа λ1 ≠ λ2 ≠ ... ≠ λn - різні дійсні корені характеристичного рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, то функціїexp (λ1x), exp (λ2x), ..., exp (λnx) утворюють фундаментальну систему рішень цього рівняння та спільне вирішення рівняння має вигляд: y (x) = C1exp (λ1x) + C2exp (λ2x) + ... + Cnexp (λnx).
Якщо λ = λ0 - дійсний корінь характеристичного рівняння кратності r, то r функцій exp (λ0x), x*exp (λ0x), x2*exp (λ0x), ..., xr-1exp (λ0x) - лінійно незалежні рішення рівняння.